Giải 4 bài toán về Hình vuông

1

Giải 4 bài toán về Hinh vuông

BàI 1: Cho hình vuông ABDC có E  AB; F BC. EC cắt DF ở I. Biết EB=2AE, BF=2FC. Tính tỉ số: IC/IE

Giải: Cách 1: (theo phương pháp diện tích) *Kéo dài EF và DC cho cắt nhau ở G ; ta có: ∆FBE ~ ∆FCG mà FB = 2FC nên: FE = 2FG  FG/EG = 1/3 = k1 CG =1/2BE = 1/3C CG/DG = ¼ = k2 * So sánh DT ∆I FC (∆2) và ∆I FE (∆3) S∆2 / S ∆3 =[(1 – 1/4).1/3] : (1 – 1/3)

= (¾ . 1/3): 2/3 = 3/8 ∆IFC (∆2) và ∆IFE (∆3) Có chung đáy IF Mà tỉ lệ S∆2 / S ∆3 = 3/8 thì IC/IE = 3/8 Đáp số 3/8

Cách 2 : (theo phương pháp Tọa độ hóa )

Xác định toạ độ của I ; Dựa theo nguyên lí tam gác đồng dạng  kết quả:

Tuy nhiên, độ chính xác chưa cao !

ThuVienDeThi.com

2

Cách 3: (theo PP đồ thị hàm số)

Đưa các yếu tố bà toán vào mặt phẳng toạ độ ; Xác định 2 hàm số bậc nhất

;

Giải PT 2 hàm số trên ta có: x = 27/11; y = 9/11

Theo nguyên lí tam gác đồng dạng tính ra IC/EC = (9/11): (33/11) = 3/11  Vậy IC/ I E = 3/8

Bài 2:

Trong hình bên: các hình ABCD, MNPQ và HICK là hình vuông.

Tính tỉ số diện tích của hình tròn nằm trong hình vuông MNPQ và hình tròn nằm trong hình vuông HICK.

Giải

Cách 1:

Gọi độ dài cạnh AB là a, ta có AM = a/6;

Gọi O là giao điểm MP và QN; gọi R là bán kính hình tròn năm trong hình vuông MNPQ;

ThuVienDeThi.com

3

S∆QOM = a/6 x a/6 : 2= ax a /72 = 1/4 S MNPQ; R X R = 1/4 SMNPQ nên

S ∆ QOM = R X R = ax a /72;

 Diện tích hình tròn nằm trong MNPQ = a x a /72 x 3,14.

Mặt khác ta có: IC = a/4; bán kính hình tròn nằm trong hình vuông HICK = a/8; diện tích hình tròn nằm trong hình vuông HICK= a/8 x a/8 x 3,14

= a x a /64 x 3,14.

 Vậy tỉ số diện tích hình tròn nằm trong hình vuông MNPQ và diện tích hình tròn nằm trong hình vuông HICK = a x a /72 x 3,14 : a x a /64 x 3,14

= 64/72 = 8/9.

Cách 2: (Đưa 2 ô vuông có hình tròn cần xét sát nhau để dễ quan sát)

- Hình tròn nội tiếp hinh vuông MNPQ có đường kính là d1

d1 = cạnh hình vuông MNPQ = 1/3 PQ (đường chéo hình vuông cạnh a)

PQ =  d1 =

- Hình tròn nội tiếp hinh vuông HICK có đường kính là d2.d2 = IC = ½ a

Tỉ lệ diện tích 2 hình tròn (k) bằng bình phương tỉ lệ 2 đường kinh tương ứng.

ThuVienDeThi.com

4

 k = (d1/d2)2 = [ ½ a / ] 2 = 8/9

Bài 3 Đường tròn (O ; R) nội tiếp hình vuông ABCD và ngoại tiếp hình vuông MNPQ. Cho AB=2R. a/ Tính diện tích phần tô màu theo R. b/ So sánh tỷ lệ diện tích phần tô màu với phần còn lại của cả hình vuông Giải

Cách 1: Diện tich hình vuông ABCD là: So = 2R x 2R = 4 R2

Diện tich hình vuông MNPQ là: S1 = (R.2)2 = 2 R2

Diện tich hình tròn tâm O là : S2 = π R2

a/ Diện tích phần tô màu = diện tích hình tròn - diện tích hình vuông MNPQ. S3 = S2 – S1 = π R2 – 2 R2 = R2(π – 2)

b/ Tỷ số phần tô màu/ phần còn lại là: [R2(π – 2)]/[(So – S2) + S1]

= [R2(π – 2)]/[4 R2 – π R2 + 2 R2] = (π – 2) / (6 – π) = # 0,4

Cách 2: ( Xét ¼ hình suy ra toàn bộ) S1 (tam giác OMN) = 1/2R2. ( vì OM = ON = R)

ThuVienDeThi.com

5

S2 (Hình quạt OMN) = ¼ πR2 ( Hình quạt = ¼ hinh tròn)

S3 (hình bán cung) = S2 – S1 = R2(1/4π – 1/2) = ¼ R2(π – 2)

a/ S tổng 4 Hình bán cung = R2 (π – 2)  Đáp số R2 (π – 2)

b/S4 (hình thang MNAB = SOAB – S1 = 2R2 – R2 = R2

Diện tích phần trống trong 1 hình thang MNAB:

R2 - ¼ R2(π – 2) = ¼ R2 (4 – π )

Tổng diện tích phần trống: 2R2 + R2(4 – π) = R2( 6 – π)

Tỷ số phần tô màu/ phần còn lại là: (π – 2) / (6 – π) = # 0,4

Bài 4 Cho tứ giác ABCD có ADC + BCD =

900 và AD = BC. Gọi I, N, J, M lần lượt là trung điểm của AB, AC, CD, BD. Chứng minh tứ giác INJM là hình vuông. Giải: Kéo dài CB và DA cho cắt nhau ở S ta có tam giác vuông SDC (vuông ở S vì D + C = 900). Theo đề ta có

IM là đường trung bình của ABD

NJ là đường trung bình của ACD

AB D và AC D chung đáy A D  IM =NJ = ½ AD và IM //NJ

Tương tự ta có IN =MJ = ½ BC Mà theo gt BC = A D  MI = NJ = IN = MJ

Vì A D BC nên các cặp cạnh của ỊN JN; NJ MJ; JM IM; IM IN

IN JM là hình vuông

PHH sưu tầm đề & biên soạn bài giải 12 - 2015

ThuVienDeThi.com