Các dạng bài tập nâng cao Toán 7

DẠNG 1: DÃY SỐMÀ CÁC SỐHẠNG CÁCH ĐỀU.

Bài 1: Tính B = 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99

Nhận xét: Nếu học sinh nào có sựsáng tạo sẽthấy ngay tổng: 2 + 3 + 4 + ... + 98 +

99 có thểtính hoàn toàn tương tựnhư bài 1, cặp sốởgiữa vẫn là 51 và 50, (vì tổng trên

chỉthiếu số100) vậy ta viết tổng B như sau:

B = 1 + (2 + 3 + 4 + ... + 98 + 99). Ta thấy tổng trong ngoặc gồm 98 sốhạng, nếu

chia thành các cặp ta có 49 cặp nên tổng đó là: (2 + 99) + (3 + 98) + ... + (51 + 50) =

49.101 = 4949, khi đó B = 1 + 4949 = 4950

Lời bình: Tổng B gồm 99 sốhạng, nếu ta chia các sốhạng đó thành cặp (mỗi cặp có

2 sốhạng thì được 49 cặp và dư 1 sốhạng, cặp thứ49 thì gồm 2 sốhạng nào? Sốhạng dư

là bao nhiêu?), đến đây học sinh sẽbịvướng mắc.

Ta có thểtính tổng B theo cách khác như sau:

Cách 2:

B = 1 + 2 + 3 + ... + 97 + 98 + 99 +

B = 99 + 98 + ... + 3 + 2 + 1

2B = 100 + 100 + ... + 100 + 100 + 100

2B = 100.99 B = 50.99 = 4950

Bài 2: Tính C = 1 + 3 + 5 + ... + 997 + 999

Lời giải:

Cách 1: Từ1 đến 1000 có 500 sốchẵn và 500 sốlẻnên tổng trên có 500 sốlẻ. Áp

dụng các bài trên ta có C = (1 + 999) + (3 + 997) + ... + (499 + 501) = 1000.250 =

250.000 (Tổng trên có 250 cặp số)

Cách 2: Ta thấy:

1 = 2.1 - 1

3 = 2.2 - 1

5 = 2.3 - 1

...

999= 2.500- 1

Quan sát vếphải, thừa sốthứ2 theo thứtựtừtrên xuống dưới ta có thểxác định

được sốcác sốhạng của dãy sốC là 500 sốhạng.

Áp dụng cách 2 của bài trên ta có:

ThuVienDeThi.com

C = 1 + 3 + ... + 997 + 999 +

C = 999 + 997 + ... + 3 + 1

2C = 1000 + 1000 + ... + 1000 + 1000

2C = 1000.500 C = 1000.250 = 250.000

Bài 3. Tính D = 10 + 12 + 14 + ... + 994 + 996 + 998

Nhận xét: Các sốhạng của tổng D đều là các sốchẵn, áp dụng cách làm của bài tập 3

đểtìm sốcác sốhạng của tổng D như sau:

Ta thấy:

10 = 2.4 + 2

12 = 2.5 + 2

14 = 2.6 + 2

...

998 = 2.498 + 2

Tương tựbài trên: từ4 đến 498 có 495 sốnên ta có sốcác sốhạng của D là 495, mặt

khác ta lại thấy: 998 10 495 1 2

   hay

sốcác sốhạng = (sốhạng đầu - sốhạng cuối) : khoảng cách rồi cộng thêm 1

Khi đó ta có:

D = 10 + 12 + ... + 996 + 998 +

D = 998 + 996 + ... + 12 + 10

2D = 1008 + 1008 + ... + 1008 + 1008

2D = 1008.495 D = 504.495 = 249480

Thực chất (998 10)495

2 D  

Qua các ví dụtrên , ta rút ra một cách tổng quát như sau: Cho dãy sốcách đều

u1, u2, u3, ... un (*), khoảng cách giữa hai sốhạng liên tiếp của dãy là d,

Khi đó sốcác sốhạng của dãy (*) là: 1 1 n u u n d

   (1)

Tổng các sốhạng của dãy (*) là 1 ( ) 2

n n

n u u S   (2)

Đặc biệt từcông thức (1) ta có thểtính được sốhạng thứn của dãy (*) là:

un = u1 + (n - 1)d

ThuVienDeThi.com

Hoặc khi u1 = d = 1 thì S1 = 1 + 2 + 3 + ... + n ( 1) 2 n n  

Bài 4. Tính E = 10,11 + 11,12 + 12,13 + ...+ 98,99 + 99,10

Lời giải

Ta có thểđưa các sốhạng của tổng trên vềdạng sốtựnhiên bằng cách nhân cảhai

vếvới 100, khi đó ta có:

100E = 1011 + 1112 + 1213 + ... + 9899 + 9910 = (1011 + 1112 + 1213 + ... + 9899)

+ 9910 (1011 9899).98 9910 2    = 485495 + 9910 = 495405 

E = 4954,05

(Ghi chú: Vì sốcác sốhạng của dãy là (9899 1011) 1 98 101

  )

Bài 5. Phân tích số8030028 thành tổng của 2004 sốtựnhiên chẵn liên tiếp.

Lời giải

Gọi a là sốtựnhiên chẵn, ta có tổng của 2004 sốtựnhiên chẵn liên tiếp là:

S = a + (a + 2) + ... + (a + 4006) = ( 4006) .2004 ( 2003).2004 2 a a a          

. Khi

đó ta có: (a + 2003).2004 = 8030028a = 2004.

Vậy ta có: 8030028 = 2004 + 2006 + 2008 + ... + 6010

Nhận xét:

Sau khi giải quyết các bài toán ởdạng trên ta không thấy có vướng mắc gì lớn, bởi

vì đó là toàn bộnhững bài toán cơ bản mà đối với học sinh khá cũng không gặp mấy khó

khăn khi tiếp thu. Tuy nhiên đó là các cơ sởđầu tiên đểtừđó chúng ta tiếp tục nghiên cứu

các dạng toán ởmức độcao hơn, phức tạp hơn một chút.

ThuVienDeThi.com