Hướng dẫn giải 10 Bài toán về Căn thức bậc hai

1

HD giải 10 Bài toán về Căn thức bậc hai

 Bài 1 :. Chứng minh rằng, n  Z+ , ta luôn có :

.   1 1 1 1 .... 2 n 1 1 2 3 n      

Giải Ta có

.       2 k 1 k 1 2 2 2 k 1 k k 2 k k k 1 k 1 k k 1 k

         

Vậy :

1 1 1 1 ... 2( 2 1) 2( 3 2) 2( 4 3) ... 2( n 1 n) 2 3 n             

Vế phải = (đpcm). 2( n 1 1) 

 Bài 2:

Rút gọn : . 1 1 1 1 A ... 1 2 2 3 3 4 n 1 n         

HD: Trục căn thức ở mẫu từng hạng tử.  Kết quả : A = – 1 . n

 Bài 3. Cho biểu thức :

1 1 1 1 P ... 2 3 3 4 4 5 2n 2n 1          

a) Rút gọn P. b) P có phải là số hữu tỉ không ?

HD. Ta có : . 1 ( a a 1) P ( 2 2n 1) a a 1

        

P không phải là số hữu tỉ : Có thể chứng minh bằng phản chứng.

Cách khác: biết căn 2 là số vô tỉ; 1 số vô tỷ + 1 số vô tỉ hoặc hũu tỉ = số vô tỉ

ThuVienDeThi.com

2

 Bài 4: Chứng minh : . 1 1 1 1 ... n 2 3 n     

HD . . 1 1 1 1 1 1 ... .n n 2 3 4 n n       

 Bài 5 Chứng minh :

(a ≥ 3) a a 1 a 2 a 3     

HD: Biến đổi :

. 1 1 a a 1 ; a 2 a 3 a a 1 a 2 a 3            

Bài 6:. Chứng minh : (x ≥ 0) 2 1 x x 0 2   

HD

.

2 2 2 2 1 1 1 1 1 x x x x x x x x 0 2 4 4 2 2                         

Dấu “ = “ không xảy ra vì không thể có đồng thời : . 1 1 x và x 2 2  

162. Chứng minh rằng : . Từ đó suy ra: 1 2 n 1 2 n 2 n 2 n 1 n     

1 1 1 2004 1 ... 2005 2 3 1006009     

 Bài 7 : Chứng minh

. (a > 0 ; a ≠ 1) a 1 a 1 1 4 a a 4a a 1 a 1 a

                  

ThuVienDeThi.com

3

HD: Vế trái khử căn thức mẫu số = (4a. √a )/ √a = 4a

 Bài 8. Chứng minh . x 2 4 x 2    

HD: Đặt = a, = b, ta có a2 + b2 = 2. Sẽ chứng minh a + b ≤ 2. x 2  4 x 

Cộng từng vế bất đẳng thức : . Ta có a + b  2

2 2 a 1 b 1 a ; b 2 2    

 Bài 9:

Chứng minh rằng nếu các đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập được thành một tam giác

thì các đoạn thẳng có độ dài cũng lập được thành một tam giác. a , b , c

HD: Giả sử a ≥ b ≥ c > 0. Theo đề bài : b + c > a. Suy ra : b + c + 2 > a bc

 thoả mãn  

2 2 b c a b c a     

 Bài 10

Cho , trong đó x, y, z > 0. Chứng minh x = y = z. x y z xy yz zx     

HD:

Từ  . x y z xy yz zx         

2 2 2 x y y z z x 0      

 Vậy x = y = z.

PHH Sưu tầm & chỉnh lí 11/2015

ThuVienDeThi.com