Đề thi olympic môn Toán Lớp 8 - Năm học 2016-2017

ĐỀ THI OLIMPIC NĂM HỌC 2016 – 2017

MÔN: TOÁN – LỚP 8 Thời gian làm bài: 120 phút

Câu 1. Cho biểu thức

4

4 3 2 16 4 8 16 16 x A x x x x       a) Rút gọn A. b) Tìm x nguyên dương để A nguyên.

Câu 2. a) Giải phương trình: 2 2 2 ( 16 60)( 17 60) 6 x x x x x     

b) Cho a, b, c là ba số thực thỏa mãn: 3 a b c    và 1 1 1 3 a b c   

Chứng minh rằng có ít nhất một trong ba số a, b, c bằng 3.

Câu 3. a) Tìm cặp số (x;y) nguyên thỏa mãn: 2 2 3 2 0 y xy x     c) Cho x, y dương thỏa mãn: xy = 1.

Chứng minh 2 2 4 ( 1)( ) 8 x y x y x y       Câu 4. Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O, lấy điểm M thuộc cạnh BC(M khác B, C). Tia AM cắt đường thẳng DC tại N. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE = CM.

a) Chứng minh OEM cân. b) Chứng minh ME // BN. c) Từ C kẻ CH  BN (HBN). Chứng minh O, M, H thẳng hàng.

Câu 5. Cho a, b , c là ba số thực dương thỏa mãn 3a + 4b + 5c = 12 và biểu thức

2 3 ab cd bc M ab a b ac a c bc b c         . Chứng minh M  2.

-----------------------HẾT-----------------------------

Đáp án tham khảo:

Câu 1. Cho biểu thức

4

4 3 2 16 4 8 16 16 x A x x x x       a) Rút gọn A. ĐKXĐ: x 2

4

4 3 2

2

4 2 3

2

2 2 2

16 4 8 16 16 ( 4)( 2)( 2) ( 8 16) (4 16 )

( 4)( 2)( 2) ( 4) 4 ( 4)

x A x x x x x x x x x x x

x x x x x x

             

      

=

2

2 2 ( 4)( 2)( 2) ( 4)( 2) 2 2

x x x x x x x

        

ThuVienDeThi.com

b) Để A nguyên, thì 2 2 x x

  nguyên hay 2 4 4 1 2 2 x

x x      nguyên, nên x – 2 phải là ước

của 4 =>x…………. nguyên dương thỏa mãn

Câu 2. a) Giải phương trình: 2 2 2 ( 16 60)( 17 60) 6 x x x x x      . Xét x = 0 không phải là nghiệm của phương trình. . Xét x khác 0. Chia hai vế cho x2 ta được phương trình tương đương:

60 60 ( 16 )( 17 ) 6 x x x x      đặt t = 60 16 x x   ta được phương trình t(t +1) = 6 t2 +t – 6 = 0

Giải phương trình ẩn t => x.

b) Cho a, b, c là ba số thực thỏa mãn: 3 a b c    và 1 1 1 3 a b c   (1)

Từ gt ta có 3 a b c    1 1 3 a b c     (2).

Từ (1) và (2) suy ra 1 1 1 1 a b c a b c     

2

1 1 1 1 0 0 ( ) 1 1 ( )( ) 0 ( )( )( ) 0

a a b c b c a b c a b c a a b c bc

b c b c a c a b a ab ac bc

              

           a b b c c a

     

mà 3 a b c    nên suy ra một trong ba số a, b, c phải bằng 3.

Câu 3. a) Tìm cặp số (x;y) nguyên thỏa mãn: 2 2 3 2 0 y xy x     Phương trình tương đương

2

2 4 4(2 3 ) 4.2 0

(4 9) 4 (2 3) 1 0 (2 3)(2 3 4 ) 1 (2 3)(4 2 3) 1

y xy x

y x y y y x y x y

   

              Do x, y nguyên nên ta có bảng 2y - 3 1 -1 4x + 2y + 3 -1 1 x y

b)Cho x, y dương thỏa mãn: xy = 1.

Chứng minh 2 2 4 ( 1)( ) 8 x y x y x y       HD: Điểm rơi x = y =1 Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số dương 2 2 ; x y Ta được 2 2 2 2.1 2 x y xy     . Dấu “=” khi và chỉ khi x = y.

ThuVienDeThi.com

Nên ta được

2 2 4 4 4 4 ( 1)( ) ( 1).2 2( ) 2 ( ) ( ) 1]

4 2 ( ) 2 2 2.2 2 2 8

x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y

x y xy x y

                           

        

Vậy 2 2 4 ( 1)( ) 8 x y x y x y       . Dấu “=” khi và chỉ khi x = y = 1.

Câu 4. Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O, lấy điểm M thuộc cạnh BC(M khác B, C). Tia AM cắt đường thẳng DC tại N. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE = CM.

a)Chứng minh OEM cân. Chứng minh BEO = tam giác CMO (c.g.c) Suy ra OE = OM và góc BOE = góc COM nên EOM = 900 Nên tam giác MOE vuông cân b)Chứng minh ME // BN.

Do AE // CN nên AM BM AE MN MC EB  

(vì BM = AE và MC= EB) Nên EM // BN theo đl ta lét đảo c) gọi H’ là giao điểm của OM và BN. Ta chứng minh H trùng với H’ Do EM // BH’ nên góc BH’M = góc EMO = 450 Nên tam giác BH’M đồng dạng tam giác OMc (gg)

Suy ra

' BM MH OM MC 

Do đó tam giác BMO đồng dạng với tam giác H’MC Suy ra góc MH’C = góc OBM = 450, mà góc BH’M = 450 Nên góc BH’M + góc MH’C = 900 hay góc BH’C = 900 mà góc BHC = 900 Do đó H trùng với H’.

Câu 5. Điểm rơi …