Đề khảo sát học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2013-2014 - Phòng GD & ĐT Thành phố Thái Bình (Có đáp án)

Bài 1 (5,0 điểm)

1. Phân tích đa thức thành nhân tử :

A = (x - 1)(x + 2)(x - 3)(x + 4) - 144

2. Cho đa thức F(x) = x3 + ax2 + bx + c (với a, b, c R).

Biết đa thức F(x) chia cho đa thức x - 2 thì dư 5, chia cho đa thức x + 1 thì dư -4.

Hãy tính giá trị (a3 + b3)(b5 + c5)(c7 + a7) ?

Bài 2 (4,0 điểm)

1. Giải phương trình :

2 2 2 5- x 4- x x -3 -1= - 2012 2013 2014

2. Giải phương trình nghiệm nguyên : 1 1 1 1 + + = x y 2xy 2

Bài 3 (3,0 điểm)

1. Cho ba số thực a, b, c có tích bằng 2 . Hãy rút gọn biểu thức : a b c 2 S = + + bc +b+1 ab+a+ 2 ac +c 2 + 2

2. Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn x + y  10.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau : 30 5 P = 2x + y + + x y

Bài 4 (5,5 điểm)

Cho hình vuông ABCD, M là một điểm nằm giữa B và C. Kẻ AN vuông góc với AM, AP

vuông góc với MN (N và P thuộc đường thẳng CD).

1. Chứng minh tam giác AMN vuông cân và AN2 = NC . NP

2. Tính tỉ số chu vi tam giác CMP và chu vi hình vuông ABCD.

3. Gọi Q là giao điểm của tia AM và tia DC. Chứng minh tổng 2 2 1 1 + AM AQ không đổi khi

điểm M thay đổi trên cạnh BC.

Bài 5 (2,5 điểm)

Cho tam giác ABC và O là một điểm bất kỳ trong tam giác. Các tia AO, BO, CO cắt các

cạnh BC, CA, AB thứ tự tại các điểm P, Q, R. Chứng minh OA

OP OB

OQ OC

OR  8

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ THÁI BÌNH

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 8 NĂM HỌC : 2013 - 2014 MÔN : TOÁN Thời gian làm bài : 120 phút

. .

ThuVienDeThi.com

Bài 1 (5,0 điểm)

1. A = (x - 1)(x + 2)(x - 3)(x + 4) - 144 = [(x - 1)(x + 2)].[(x - 3)(x + 4)] - 144 0.25 = (x2 + x - 2)(x2 + x - 12) - 144 0.25 = (x2 + x - 7 + 5)(x2 + x - 7 - 5) - 144 0.5 = (x2 + x - 7)2 - 25 - 144 0.25 = (x2 + x - 7)2 - 169 0.25 = (x2 + x - 7 - 13)(x2 + x - 7 + 13) 0.25 = (x2 + x - 20)(x2 + x + 6) 0.25 = (x2 - 4x + 5x - 20)(x2 + x + 6) 0.25 = (x - 4)(x + 5)(x2 + x + 6) 0.25 2. Gọi thương của phép chia F(x) cho x - 2 và x + 1 lần lượt là P(x) và Q(x) Suy ra : x3 + ax2 + bx + c = (x - 2). P(x) + 5 (1) x3 + ax2 + bx + c = (x + 1). Q(x) - 4 (2)

0.5

Thay x = 2 vào (1) ta có : 8 + 4a + 2b + c = 5  4a + 2b + c = -3 (3) 0.5 Thay x = -1 vào (2) ta có : -1 + a - b + c = -4  a - b + c = -3 (4) 0.5 Từ (3) và (4) => 4a + 2b + c = a - b + c => 3a = -3b => a = -b 0.5 => a3 = -b3 => a3 + b3 = 0 => (a3 + b3)(b5 + c5)(c7 + a7) = 0 0.5

Bài 2 (4,0 điểm)

1.

2 2 2 5- x 4- x x -3 -1= - 2012 2013 2014



2 2 2 5- x 4- x x -3 +1= +1- +1 2012 2013 2014

0.5



2 2 2 2017- x 2017- x x - 2017 = - 2012 2013 2014 0.25



2 2 2 2017- x 2017- x 2017- x - - = 0 2012 2013 2014 0.25

( )(  2 1 1 1 2017- x - - ) = 0 2012 2013 2014 0.25

 2 2017- x = 0 ( vì  1 1 1 - - 0 2012 2013 2014 ) 0.25

 2 x = 2017   x = 2017 0.25 Vậy tập nghiệm của phương trình là S = { 2017 ; 2017 } 0.25

2. 1 1 1 1 + + = x y 2xy 2 ĐKXĐ : x 0 , y 0 0.25

=> 2y + 2x + 1 = xy 0.5  xy - 2x - 2y - 1 = 0  x(y - 2) - (2y - 4) - 5 = 0  (y - 2)(x - 2) = 5

0.5

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ THÁI BÌNH

HƯỚNG DẪN CHẤM KHẢO SÁT HSG LỚP 8 NĂM HỌC : 2013 - 2014 MÔN : TOÁN

ThuVienDeThi.com