Đề và đáp án thi Olympic Toán lớp 8 - Năm học 2014-2015

ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2014 – 2015

MÔN: TOÁN – LỚP 8. Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1.

a) Tính giá trị biểu thức:

b) Phân tích đa thức thành nhân tử. Chứng minh rằng với thì là hợp số. Câu 2.

c) Tìm số tự nhiên a và b thỏa mãn: a – b = .

Câu 3.

a) Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

A = .

b) Biết xy = 13 và x2y + xy2 + x + y = 2016. Hãy tính x2 + y2

Câu 4. Cho tam giác ABC có C = 600. Đường phân giác, trung tuyến AD (D BC). Lấy M là điểm bất kì thuộc cạnh Bc. Gọi E, F theo thứ tự là hình chiếu của M trên AB, AC. Gọi I là trung điểm cảu AM.

a) Chứng minh I cách đều các điểm A, F, D, M, E. b) Tính DIF. c) Gọi K là giao điểm AM và EF. Chứng minh KA.KM = KE.KF. Câu 5. Cho

Chứng minh rằng:

-------------------Hết------------------

8 7 6 5

8 7 6 5

      

  

a a a a

a a a a

2 3  n n * N n   2 3  n n

b a

3          c b a

c b c a

b a c b

a

 



 1,0 , ,  z y x

z y x yz x

z xy z

y xz y

x

          

3 1 1 1

ThuVienDeThi.com

Đ/á tham khảo: Câu 1.

a) Tính giá trị biểu thức:

= = = .

b) . Xét n chẵn và n lẻ suy ra chia hết cho 2. Nên là hợp số. Câu 2. a) Xét 2 Th đưa về phường trình tích.

b) Tìm số tự nhiên a và b thõa mãn: a – b = .

ĐK: b 0.

b - 1 1 -1 a – b - 1 1 -1 a 4 2 b 2 0(loại)

Vậy (x,y) = (4,2).

Câu 3.

Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

A =

Cách1: VT = .

Mặt khác:

Nên:

và Thay vào trên ta được:

VT .

Dấu “=” a = b = c. Cách 2: Đặt a+b-c = x; b+c-a = y; c+a-b = z.

b) Do x2y + xy2 + x + y = 2016 Ta có: x2 + y2 =

8 7 6 5

8 7 6 5

      

  

a a a a

a a a a

8 7 6 5

8 7 6 5

1 1 1 1

a a a a

a a a a

  

  

) 1 ( 1

) 1(

3

3 2

5

3 2 5

a

a a a a

a a a a

  

   13 a

2 3  n n ) 2 )( 1 ( )1 ( )1 ( 2 3         n n n n n

2 3  n n 2 3  n n

b a



a b ab    2  1 )1 )( 1 (     b a b

3          c b a

c b c a

b a c b

a

) ( ) ( 2

) (

2 2 2

2

2

2

2

2

2

2

c b a ca bc ab

c b a c bc ca

c b bc ab

b a bc ab

a

    

          

ca a c

bc c b

ab b a

2

2

2

2 2

2 2

2 2

 

 

 

ca bc ab c b a      2 2 2  ) ( 3 ) ( 2 ca bc ab c b a      

) ( 2 ) ( 3 2 2 ca bc ab c b a      3

) ( 2 2 2 2 c b a c b a     

 ) ( 3 ) ( 3 1 ) ( 3 2

) (

2 2

2

đfcm c b a a b a

c b a      

 



144 14 : 2016 2016 ) ( ) (          y x y x y x xy

... 2 ) ( 2    xy y x

ThuVienDeThi.com

Câu 4. Cho tam giác ABC có C = 600. Đường phân giác, trung tuyến AD (D BC). Lấy M là điểm bất kì thuộc cạnh Bc. Gọi E, F theo thứ tự là hình chiếu của M trên AB, AC. Gọi I là trung điểm cảu AM.

a) Chứng minh I cách đều các điểm A, F, D, M, E. b) Tính DIF. c) Gọi K là giao điểm AM và EF. Chứng minh KA.KM = KE.KF.

a) Theo tính chất đườn trung tuyến của tam giác vuông AEM, ADM, AMF và gt AI = IM ta có đfcm. b) Góc MID + DIF + FIA = 1800 Hay 2IAD +DIF + (1800 - 2IAF) = 1800

2IAD + DIF + 1800 – 2IAD – 2DAF = 1800

DIF = 1800 – 2DAF = 600. c) Tam giác DIF đều nên tứ giác DEIF là hình thoi EF ID do đó góc IFE = 300. Góc AFI + góc IFK + góc KFM = 900 Hay Góc AFI + góc KFM + 300 = 900 Góc AFI + góc IFK = 600(1)

Mà góc EAK + góc KAD = 600 (2) Có góc IAF + góc IFA ( do tam giác IAF cân) (3). Từ (1)(2)(3) ta có góc EAK = góc KFM (*)

KA.KM = KE.KF

Câu 5. Cho

Cách 1: Chứng minh rằng:

Mà: nên ....

Tương tự suy ra đfcm.

 







 

  

  

          (*)

) (

KEM EAK

đđ FKM AKE KFM KAE KM

KF KE KA

 1,0 , ,  z y x

z y x yz x

z xy z

y xz y

x

          

3 1 1 1

0 1 1 1 1 1 1                    z y x yz x

z z y x xy z

y z y x xz y

x

... ) )( 1(

1 2

    

      z y x xz y

xz y xz xy x

... ) )( 1(

)1 )( 1 (     

    z y x xz y

y x x

1 0  x 0 1   x 0 ) )( 1(

)1 )( 1 (     

  

z y x xz y

y x x

K

D

I

F

E

B C

A

M

ThuVienDeThi.com