Đề khảo sát học sinh giỏi năm 2016 - 2017 môn Toán lớp 8

PHÒNG GD – ĐT VŨ THƯ

Ngày 28 tháng 8 năm 2016

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM 2016 - 2017

Môn: Toán - Lớp 8 (Thời gian làm bài 120 phút)

Câu 1. (4,0 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

1) 5 x3 + 15x2 +10x 3) 4 2 2 4 4x 21x y y  

2)  

2 2 9x 90x 225 x 7         

2 4) 4 x 5 x 6 x 10 x 12 3x     

Câu 2. (6 điểm)

1) Tính giá trị của biểu thức: 2 3 2016 1 2 3 2016 P .... 2 2 2 2     

2) Cho x và y là hai số thực thỏa mãn: . Tìm giá trị bé nhất của biểu thức 2 2 x y 1  

6 6 P x y  

3) Tìm x nếu : 2 3 2 3 3 (x 4x 1) (x x 1) (3x 2)       

4) Với a và b là các số nguyên dương sao cho a + 1 và b + 2019 là các số chia hết cho 6. Chứng minh rằng số cũng chia hết cho 6. a4 a b  

Câu 3. (4 điểm)

1) Chứng minh rằng với mọi số nguyên x và y thì :

là số chính phương       2 2 1 x 1 y 4xy 2 x y 1 xy      

2) Tìm các số nguyên a, b, c sao cho đa thức phân tích thành f (x) (x a)(x 4) 7     thừa số được f (x) (x b)(x c)   

Câu 4. (4,0 điểm)

Cho tam giác ABC. Vẽ điểm D, E, F sao cho B là trung điểm của AD, C là trung điểm của BE, A là trung điểm của CF. Gọi G là giao điểm của đường trung tuyến AM của tam giác ABC với đường trung tuyến DN của tam giác DEF. I và K lần lượt là trung điểm vủa GA và GD. Chứng minh rằng: 1) Tứ giác MNIK là hình bình hành 2) Trọng tâm của tam giác ABC và tam giác DEF trùng nhau.

Câu 5: (2 điểm)

Cho tam giác ABC. Lấy các điểm D và E theo thứ tự thuộc các tia đối của các tia BA, CA sao cho BD = CE = BC. Gọi O là giao điểm của BE và CD. Qua O vẽ đường thẳng song song với tia phân giác của góc A, đường thẳng này cắt AC ở K. Chứng minh rằng AB = CK.

ThuVienDeThi.com

----------- Hết -----------

HƯỚNG DẪN CHẤM

Câu Hướng dẫn giải Điểm

3 2 2 1) 5 x 15x 10x 5x(x 3x 2) 5x(x 1)(x 2)         1đ

2)

    2 2 2 2 9x 90x 225 x 7 9(x 5) x 7 (3x 15 x 7)(3x 15 x 7)

(4x 8)(2x 22) 8(x 2)(x 11)

              

     

1đ

3)

4 2 2 4 4 4 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4x 21x y y 4x y 4x y 25x y

(2x y ) (5x y ) (2x y 5x y )(2x y 5x y )

     

       

1đ

Câu 1 (4,0)

    

2

2 2 2 4) 4 x 5 x 6 x 10 x 12 3x

4(x 17x 60)(x 16x 60) 3x A

    

      

Đặt thì 2 x 16x 60 t   

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2

A 4t(t x) 3x 4t 4tx 3x 4t 4tx x 4x

(2t x) 4x (2t 3x)(2t x) (2x 35x 120)(2x 31x 120)

(2x 35x 120)(2x 15)(x 8)

         

          

    

1đ

Câu 2 (6,0)

1) Tính giá trị của biểu thức: 2 3 2016 1 2 3 2016 P .... 2 2 2 2     

+) Số hạng tổng quát: với mọi k nguyên dương. k k 1 k k k 1 k 2 2 2 2     

+) Áp dụng cho k từ 1đến 2016 ta được:

k=1 thì 1 1 2 3 2 1 2  

k=2 thì 2 1 3 2 3 4 2 2 2  

k=3 thì 3 2 3 3 4 5 2 2 2  

k=4 thì 4 3 4 4 5 6 2 2 2  

……………………….

K=2016 thì 2016 2015 2016 2016 2017 2018 2 2 2  

Cộng vế với vế của các đẳng thức trên ta có

2 3 2016 2016 2015 1 2 3 2016 2018 1009 P .... 2 2 2 2 2 2 2 2         

1,5đ

ThuVienDeThi.com