Toán 8 - Phương pháp đổi biến số

PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ Dạng 1: Đặt x = u(t) u() = a ; u() = b

b

a

f(x).dx  = f[u(t)].u (t).dt





 

Ví dụ 1: Tính tích phân sau :

a)

1

2

0

1 x .dx   Đặt x = Sin t  dx = Cos t.dt t  [2

; 2

]

Khi x = 0  t = 0 x = 1  t = /2

1

2

0

1 x .dx   = 2

0

/2

1 Sin t.cos t.dt



  =

0

/2

cost .cos t.dt



 =

= 1

2 0

/2

(1 cos2t).dt



  = 1

2 (t+ sin 2t

2 )

/2

0



= 1

2 ( 2

+ sin

2

)= 4



b)

1

2 0

dx 1 x   Đặt x = tant  dx = (tan2 t+ 1).dt ; t  (2

; 2

)

Khi x = 0  tan t =0  t = 0 x = 1  tan t = 1  t = /4

I =

2

2 0

/4 (tan 1).dt (tan 1)

 

 

t

t

=

0

/4

dt



 =(t)

/4

0



= 4



c)

3 2

2 0

dx

1 x   Đặt x = Sin t  dx = Cos t.dt t  (2

; 2

)

Khi x = 0  t = 0

x = 3 2  t = /3

3 2

2 0

dx

1 x   =

2 0 0 0

/3 /3 /3 Cos t.dt Cost.dt dt Cost 1 Sin t

         =(t)

/3

0



= 3



Khi x = 1  t = 0 x = e  t = /6 Dạng 2: Đặt : t = v(x) => dt = v/(x).dx Khi đó biến đổi f(x) thành một biểu thức có dạng g[v(x)].v/(x)

Đổi cận : x = a  t = v(a) x = b  t = v(b)

ThuVienDeThi.com

b

a

f(x).dx  =

v(b)

v(a)

g[v(x)].v (x).dx  

Ví dụ 2: Tích các tích phân sau :

a)

3

2

1

x. 3 2x .dx   Đặt t =3+2x2 => dt = 4xdx => dt

4 =x.dx

Khi x = 1  t = 5 x = 3  t =9

3

2

1

x. 3 2x .dx   = 1

4

9

5

t.dt  = 1

4 . 2

3

3t

9

5 = 1

6 (27 3 5 )

b)

1

2

1

3 -x x .e .dx

 Đặt t = x3 => dt = 3x.dx => dt

3 =x.dx

Khi x = 1  t = 1 x = 1  t = 1 1

2

1

3 -x x .e .dx

 =1

3

1

t

1

e .dt



 =1

3 et

1

1



=1

3 .e1 + 1

3 e= 1

3 (e1

e )

c)

3 e

e

dx xlnx  Đặt t =lnx => dt = 1

x dx

Khi x = e  t = 1 x = e3  t = 3 3 e

e

dx xlnx  =

3

1

dt

t =ln t

3

1 =ln3

d)

1

2 0

6x 2 .dx 3x 2x 7



   Đặt t= 3x2 2x+7 => dt=(6x2).dx

Khi x = 0  t = 7 x = 1  t = 8 1

2 0

6x 2 .dx 3x 2x 7



   =

8

7

dt

t =ln t

8

7 =ln8 ln7

Bài tập : Bài 1: Tính các tích phân :

a)

1

5

0

(3x 2) dx   =

6 (3x 2) 3.6

 1

0 = 1

18 

6 ( 2)

18  =

ThuVienDeThi.com

b)

1

2 6

0

x(x 1) dx   Đặt t =x2+1 => dt = 2xdx => dt

2 =x.dx

Khi x = 0  t = 1 x = 1  t = 2

1

2 6

0

x(x 1) .dx   = 1

2

2

6

1

t .dt  = 1

2

7t 7

2

1 =

7 2 14 1

14

c)

2

7

1

(2x 1) dx   =

8 (2x 1) 2.8

 2

1 =

8 5 16 

83 16

d)

0

2

1

x x 3.dx



  Đặt t =x2 +3 => dt = 2xdx => dt

2 =x.dx

Khi x = 1  t = 4 x = 0  t =3

0

2

1

x x 3.dx



  = 1

2

3

4

t.dt  = 1

2 . 2

3

3t

3

4 = 1

3 ( 27 8)

e)

/ 2

0

Sinx dx 1 3Cosx



  Đặt t = 1+3cosx  dt =3sinx.dx => dt

3 =sinx.dx

Khi x = 0  t = 4 x = /2  t = 1 / 2

0

Sinx dx 1 3Cosx



  =1

3

1

4

dt

t =1

3 ln t

1

4 =1

3 ln1+ 1

3 ln4= 1

3 ln4

f)

0

/2

2 1 Cosx.Sinx.dx



 

Đặt t = 1+cosx  dt =sinx.dx => dt=sinx.dx Khi x = 0  t = 2 x = /2  t = 1

0

/2

2 1 Cosx.Sinx.dx



  =2

1

2

t.dt  =2. 2

3

3t

1

2 =4

3 + 4

3 8

g)

/ 4 tanx

2 0

e dx Cos x



 Đặt t = tanx => dt = 2 1 cos x

dx

Khi x = 0  t = 0 x =/ 4  t = 1

/ 4 tanx

2 0

e dx Cos x



 =

1

t

0

e .dt  =et

1

0 =e1

ThuVienDeThi.com