Đề thi khảo sát học sinh giỏi môn Toán học khối 8

http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77

PHÒNG GD&ĐT Đề thi khảo sát hsg lớp 8

Môn : Toán Thời gian: …. phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày:…./…

Bài 1: (8 điểm)

a) Phân tích đa thức thành nhân tử:

a1) A = x2 – x – y2 – y

a2) B = x2 – 5x + 6

b) Chứng minh rằng: Mọi số lẻ đều viết được dưới dạng hiệu của hai số chính

phương.

c) Cho a = ; b = . 

ncs1 11...1

n 1cs0 100...05

  

Chứng minh rằng: C = ab + 1 là một số chính phương.

Bài 2: (8 điểm)

a) Cho xy = a; yz = b; zx = c(trong đó a, b, c khác 0)

Tính: D = x2 + y2 + z2

b) Cho abc = 2.

Tính giá trị của biểu thức sau:          a b 2c E ab a 2 bc b 1 ac 2c 2

c) Cho a + b + c = 0 và a, b, c đều khác 0.

Rút gọn biểu thức:   

2 2 2 a b c F bc ca ab

Bài 3: (4 điểm)

a) Cho tam giác ABC, kẻ trung tuyến AM. Chứng minh: SABM = SACM.

b) Cho tam giác ABC kẻ ba đường cao AA’, BB’, CC’ gặp nhau tại H.

Chứng minh rằng:    HA ' HB' HC' 1 AA ' BB' CC'

Hết

HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ THANG ĐIỂM CHẤM

ThuVienDeThi.com

http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77

Bài 1 : (8 điểm) a) Phân tích đa thức thành nhân tử : a1) A = (x2 – y2) – (x + y) 0.50 = (x + y)(x – y) – (x + y) 0.75 = (x + y)(x – y – 1) 0.75 a2) B = x2 – 2x – 3x + 6 0.50 = (x2 – 2x) – (3x – 6) 0.50 = x(x – 2) – 3(x – 2) 0.50 = (x – 2)(x – 3) 0.50 b) Chứng minh rằng: Mọi số lẻ đều viết được dưới dạng hiệu của hai số chính phương. Gọi số lẻ có dạng 2k + 1 (k  N) 0.50 Ta có : 2k + 1= k2 + 2k + 1 – k2 1.00 = (k + 1)2 – k2 0.50 c) Cho ; . 

ncs1 a 11...1 

n 1cs0 b 100...05

  

Chứng minh rằng : C = ab + 1 là một số chính phương. Ta có : 9a + 1 = 10n 0.50 0.25

ncs0 b 100...00 5    

= 10n + 5 = 9a + 6 0.25 C = ab + 1 = a(9a + 6) + 1 0.25 C = 9a2 + 6a + 1 = (3a + 1)2 0.50 C = 0.25 

2

n 1cs3 33...34

 Bài 2 : (8 điểm) a) Cho xy = a ; yz = b ; zx = c Tính : D = x2 + y2 + z2 Ta có : xy = a ; yz = b ; zx = c Suy ra : x2y2z2 = abc x2y2 = a2 0.25 y2z2 = b2 0.25 z2x2 = c2 0.25 Do đó : x2b2 = abc 0.25 a2z2 = abc 0.25 y2c2 = abc 0.25 Hay : ; ; 0.25 2 ac x b  2 ab y c  2 bc z a 

Vậy 0.25 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ac ab bc a b b c c a x y z b c a abc        

b) Cho abc = 2. Tính giá trị của biểu thức sau:

1.00          a b 2c E

ab a 2 bc b 1 ac 2c 2

         a ab 2c ab a 2 abc ab a ac 2c abc 1.00          a ab 2c ab a 2 2 ab a c(a 2 ab)

0.50          a ab 2 ab a 2 ab a 2 ab a 2

0.50       ab a 2 1 ab a 2 c) Cho a + b + c = 0 và a, b, c đều khác 0.

ThuVienDeThi.com

http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77

Rút gọn biểu thức :   

2 2 2 a b c F bc ca ab 0.75   

3 3 3 a b c abc abc abc

0.50   

3 3 3 a b c abc Mà : a + b + c = 0 Suy ra : a3 + b3 + c3 = 3abc 1.00 0.50    

3 3 3 a b c 3abc abc abc

0.25 3 Bài 3 : (4 điểm) a) Cho tam giác ABC, kẻ trung tuyến AM. Chứng minh: SABM = SACM. Kẻ AH  BC 0.25 Ta có :

0.50  ABM

1 S AH.BM 2

0.50  ACM

1 S AH.CM 2 Mà : BM = CM (AM là trung tuyến) Vậy : SABM = SACM 0.25 b) Cho tam giác ABC kẻ ba đường cao AA’, BB’, CC’ gặp nhau tại H. Chứng minh rằng :    HA ' HB' HC' 1 AA ' BB' CC' Ta có : S = SABC

0.25 1BC.AA ' 2

0.25 1 CA.BB' 2

0.25 1 AB.CC' 2 S = SHBC + SHCA + SHAB 0.25 Mà :

0.25  HBC 1 S BC.HA ' 2

0.25  HCA 1 S CA.HB' 2

0.25  HAB 1 S AB.HC' 2 Nên :    1 1 1 BC.HA ' CA.HB' AB.HC' S 2 2 2

  

1 1 1 BC.HA ' CA.HB' AB.HC' 2 2 2 1 S S S

0.25 1 1 1 BC.HA ' CA.HB' AB.HC' 2 2 2 1 1 1 1 BC.AA ' CA.BB' AB.CC' 2 2 2

  

0.25 HA ' HB' HC' 1 AA ' BB' CC'   

0.25

H M B

C

A

H

C'

B'

A' B C

A

ThuVienDeThi.com