Đề khảo sát học sinh giỏi môn Toán học 8

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI MÔN : Toán 8. Thời gian làm bài: 120 phút ĐỀ BÀI.

Câu 1 (2 điểm) : Cho biểu thức A = 2 3 3 3 4 1 1 1 x x x x x x x         a) Rút gọn biểu thức A b) Chứng minh rằng giá trị của A luôn dương với mọi x ≠ - 1 Câu 2 (3 điểm): a) Chứng minh rằng: Với mọi x  Q thì giá trị của đa thức : M =      2 4 6 8 16 x x x x      là bình phương của một số hữu tỉ. b) Giải phương trình 1 ( 1) x x x    Câu 3 (1,5 điểm): Đa thức P(x) bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là 1. Biết P(1)=0 ; P(3)=0 ; P(5)= 0.

Hãy tính giá trị của biểu thức: Q= P(-2)+7P(6) Câu4 (2,5 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác AD. Vẽ hình vuông MNPQ có M thuộc cạnh AB, N thuộc cạnh AC, P và Q thuộc cạnh BC. Gọi E và F lần lượt là giao điểm của BN và MQ; CM và NP. Chứng minh rằng: a) DE song song với AC b) DE =DF; AE =AF.

Câu5 (1 điểm): Chứng minh bất đẳng thức: Với 3 2 a b c a b b c c a       0 a b c   

-----------------------------Hết--------------------------------

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI MÔN : Toán 8. Thời gian làm bài: 120 phút ĐỀ BÀI.

Câu 1 (2 điểm) : Cho biểu thức A = 2 3 3 3 4 1 1 1 x x x x x x x         a) Rút gọn biểu thức A b) Chứng minh rằng giá trị của A luôn dương với mọi x ≠ - 1 Câu 2 (3 điểm): a) Chứng minh rằng: Với mọi x  Q thì giá trị của đa thức : M =      2 4 6 8 16 x x x x      là bình phương của một số hữu tỉ. b) Giải phương trình 1 ( 1) x x x    Câu 3 (1,5 điểm): Đa thức P(x) bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là 1. Biết P(1)=0 ; P(3)=0 ; P(5)= 0.

Hãy tính giá trị của biểu thức: Q= P(-2)+7P(6) Câu4 (2,5 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác AD. Vẽ hình vuông MNPQ có M thuộc cạnh AB, N thuộc cạnh AC, P và Q thuộc cạnh BC. Gọi E và F lần lượt là giao điểm của BN và MQ; CM và NP. Chứng minh rằng: a) DE song song với AC b) DE =DF; AE =AF.

Câu5 (1 điểm): Chứng minh bất đẳng thức: Với 3 2 a b c a b b c c a       0 a b c   

-----------------------------Hết--------------------------------

ThuVienDeThi.com

B. HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI

MÔN: Toán 8

Câu Đáp án Thang điểm

1

a/ A = = 2 3 3 3 4 1 1 1 x x x x x x x        

      

2

2 1 1 3 3 4

1 1

x x x x x x

x x x

      

  

=   

     

2 3 2 2

2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1

x x x x x x x x x x x x x x x x

                 

b/ Víi mäi x ≠ - 1 th× A = =

2

2

1 1 x x x x    

2

2

1 3 2 4 1 3 2 4

x

x

               

V×

2 2 1 3 1 3 0; 0, 1 0, 1 2 4 2 4 x x x A x                     

1,0

1,0

2

a/ Ta có: M =    2 2 10 16 10 24 16 x x x x      Đặt a = x2 + 10x + 16 suy ra M = a( a+8) + 16 = a2 + 8a + 16 = ( a+ 4)2 M = ( x2 + 10x + 20 )2 ( đpcm) b/ 1 ( 1) x x x     ( 1) 1 0 x x x      . 1 1 0 x x x     

1 ( 1) 0 x x   



1 0 1 0 1 1 1 0 1

x x x x x x

                   

0,5

1,0

0,5

1,0

3

Ta có: P(x) (x-1), (x-3), (x-5)  Nên P(x) có dạng: P(x) = (x-1)(x-3)(x-5) (x+a) Khi đó: P(-2) +7P(6) = (-3).(-5).(-7).(-2 +a) +7.5.3.1.(6+a) = -105.(-2+a) +105.(6+a) = 105.( 2 –a +6 +a) = 840

0,5

1,0

4

a/ Vẽ hình

a) Chứng minh được:

0,25

ThuVienDeThi.com