Đề thi ôlympic môn Toán lớp 8 - Trường THCS Mỹ Hưng

1

Trường THCS Mỹ Hưng

ĐỀ THI ÔLYMPIC MÔN TOÁN LỚP 8

(120 Phút)

(năm học 2013 – 2014)

Câu 1 : (6 điểm)

a) Giải phương trình : 18

1 42 13

1 30 11

1 20 9

1

2 2 2          x x x x x x

b) Cho a , b , c là 3 cạnh của một tam giác . Chứng minh rằng :

A = 3          c b a

c b c a

b a c b

a

Câu 2 : (5 điểm)

a) Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì

tổng các lập phương của chúng chia hết cho 3.

b) Tìm số nguyên n dÓ n5 + 1 chia hết cho n3 + 1

Câu 3. (3 điểm )

a. Cho 3 số dương a, b, c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: 1 1 1 9 a b c   

b. Cho a, b dương và a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002

Tinh: a2011 + b2011

Bài 4 : ( 6 điểm )

Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là một điểm di động trên AC. Từ C vẽ đờng thẳng vuông góc với tia BM cắt tia BM tại H, cắt tia BA tại O. Chứng minh rằng : a ) OA.OB = OC.OH b ) Góc OHA có số đo không đổi c ) Tổng BM.BH + CM.CA không đổi.

ThuVienDeThi.com

2

Đáp án – hướng dẫn chấm

Câu 1 : (6 ®)

a) (3 ®) x2+9x+20 =(x+4)(x+5) ;

x2+11x+30 =(x+6)(x+5) ;

x2+13x+42 =(x+6)(x+7) ; 0,5

§KX§ : 0,5 7 ;6 ;5 ;4         x x x x

Phương trình trở thành :

18

1 ) 7 )( 6 (

1 ) 6 )( 5 (

1 ) 5 )( 4 (

1          x x x x x x

18

1 7 1 6 1 6 1 5 1 5 1 4 1             x x x x x x

1,75 18

1 7 1 4 1     x x

18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4)

(x+13)(x-2)=0

Từ đó tìm được x=-13; x=2; ( 0,25đ)

b) (3 ®) Đặt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0

Từ đó suy ra a= ; ( 1,5đ ) 2 ; 2 ; 2

y x c z x b z y     

Thay vào ta được A= ( 0,75 đ) 

 

            ) ( ) ( ) ( 2 1 2 2 2 y z z y x z z x y x x y z

y x y

z x x

z y

Từ đó suy ra A hay A ( 0,25đ ) ) 2 2 2 ( 2 1    3 

Câu 2 : (2®)

a) Gọi 2 số phải tìm là a và b , ta có a+b chia hết cho 3 . 0,25

Ta cã a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b) =   ab b ab a 3 ) 2 ( 2 2   

=(a+b) 0,5   ab b a 3 ) ( 2  

Vì a+b chia hết cho 3 nên (a+b)2-3ab chia hết cho 3 ;

Do vËy (a+b) chia hÕt cho 9   ab b a 3 ) ( 2  

ThuVienDeThi.com

3

b ) ( 3đ ) n5 + 1 n3 + 1 n5 + n2 – n2 + 1 n3 + 1    n2(n3 + 1)- ( n2 – 1) n3 + 1   (n – 1)(n + 1) (n+1)(n2 – n + 1)   n – 1 n2 – n + 1   n(n – 1) n2 – n + 1   Hay n2 – n n2 – n + 1  (n2 – n + 1) – 1 n2 – n + 1   1 n2 – n + 1   Xét hai trường hợp: + n2 – n + 1 = 1 n2 – n = 0 n(n – 1) = 0 n = 0, n = 1 thử lại thấy    t/m đề bài + n2 – n + 1 = - 1 n2 – n + 2 = 0 , không có giá trị của n thoả mãn 

Câu 3

a. Từ: a + b + c = 1 ( 1đ ) 

1 b c 1 a a a 1 a c 1 b b b 1 a b 1 c c c

            

1 1 1 a b a c b c 3 a b c b a c a c b 3 2 2 2 9

                                

Dấu bằng xảy ra a = b = c = ( 0,5 đ )  1 3 b. (a2001 + b2001).(a+ b) - (a2000 + b2000).ab = a2002 + b2002

(a+ b) – ab = 1 (a – 1).(b – 1) = 0 a = 1 hoặc b = 1 ( 1 đ ) Với a = 1 => b2000 = b2001 => b = 1 hoặc b = 0 (loại) Với b = 1 => a2000 = a2001 => a = 1 hoặc a = 0 (loại) ( 0,5 đ ) Vậy a = 1; b = 1 => a2011 + b2011 = 2

ThuVienDeThi.com