Đề thi olympic Toán 8 năm học 2013 - 2014 - Trường THCS Liên Châu

1

PHÒNG GD&ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS LIÊN CHÂU

ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN 8

Năm học: 2013 - 2014

Thời gian: 120 phút

Câu 1(6điểm) 1. Giải phương trình sau: a. 2 2 2 2 2 2 (2 2013) 4( 5 2012) 4(2 2013)( 5 2012) x x x x x x x x          

b. 4 3 1     x x

2. Chứng minh bất đẳng thức sau:

x2 + y2 + z2 xy + xz + yz với mọi x , y ,z 

Câu 2 (5điểm)

1. Tìm đa thức f(x) biết rằng: f(x) chia cho dư 10, f(x) chia cho dư 24, 2 x  2 x 

f(x) chia cho được thương là và còn dư. 2 4 x  5x 

2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau:

x2 – xy = 6x – 5y – 8

Câu 3 (2điểm) Cho a , b >0 và a + b =1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

M = (1 + )2 + ( 1 + )2 1 a

1 b

Câu 4: (7 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A ( AC > AB) , đường cao AH (H BC) . Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA . Đường vuông góc với BC tại  D cắt AC tại E .

1. Chứng minh rằng BEC đồng dạng ADC .Tính độ dài đoạn BE theo   m = AB

2. Gọi M là trung điểm của đoạn BE . Chứng minh rằng BHM đồng dạng   BEC . Tính số đo của góc AHM.

3. Tia AM cắt BC tại G . Chứng minh : GB HD BC AH HC  

…………….Hết………………

ThuVienDeThi.com

2

PHÒNG GD&ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS LIÊN CHÂU

ĐÁP ÁN OLYMPIC TOÁN 8

Năm học: 2013 - 2014

Nội dung đáp án Điểm Câu1 6 điểm 1) 4 điểm a) 2điểm

Đặt:

2

2 2 2013

5 2012

a x x

b x x

      

Phương trình đã cho trở thành:

2 2 2 4 4 ( 2 ) 0 2 0 2 a b ab a b a b a b          

Khi đó, ta có:

2 2 2 2 2 2013 2( 5 2012) 2 2013 2 10 4024 x x x x x x x x           

. 2011 11 2011 11 x x     

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất . 2011

11 x  

0,5điểm

0,5điểm

0,5điểm

0,25điểm

0,25điểm

b) 2điểm

Lập bảng xét dấu các nhị thức : x – 1 và x + 3

x - 3 1

x – 1 – | – 0 +

x + 3 – 0 + | +

+) Xét x < - 3 (1) Phương trình 1 – x – 3 – x = 4 - 2x = 6 x = - 3. Không    thỏa mãn (1) +) Xét - 3 x 1 (2)   Phương trình 1 – x + x +3 = 4 0x = 0 Thỏa mãn với mọi x   R sao cho - 3 x 1    + ) Xét x 1 (3)  Phương trình x – 1 + x+ 3= 4 2x = 2 x=1 . Thỏa mãn (3)   

Kết luận : Vậy phương trình có nghiệm - 3< x 1 

0,25điểm

0, 5điểm

0,5 điểm

0,25điểm

0,25điểm

0,25điểm

ThuVienDeThi.com

3

2) 2điểm Có ( x – y )2 + ( y – z )2 + ( z – x )2 0 với mọi x, y ,z  x2 – 2xy + y2 + y2 – 2yz + z2 + z2 – 2xz + x2 0   2( x2 + y2 + z2) 2( xy + xz + yz )   x2 + y2 + z2 xy + xz +yz (đpcm)  

0,5điểm 0,5 điểm 0,5điểm 0,5điểm

Câu 2 5điểm 1) 2,5điểm Giả sử f(x) chia cho được thương là và còn dư là . 2 4 x  5x  ax b  Khi đó: 2 f ( ) ( 4).( 5 ) ax+b x x x     Xét các giá trị riêng của x sao cho x2 – 4 = 0 (x – 2 )( x + 2) = 0  x = 2 hoặc x = - 2  Với x =2 f(2) = 2a +b  Với x = - 2 f(- 2) = - 2a + b  Theo đề bài, ta có:

7 (2) 24 2 24

2 ( 2) 10 2 10 17

f a b a f a b b

                     

Do đó: 2 7 f ( ) ( 4).( 5 ) x+17 2 x x x    

Vậy đa thức f(x) cần tìm có dạng: 3 47 f ( ) 5 17. 2 x x x   

0,5điểm

0,5điểm

0,5điểm

0,25điểm

0,25điểm

2) 2,5 điểm x2 – xy = 6x – 5y - 8 x2 – 6x + 8 = y (x – 5 ) (2) 

y = ( vì x =5 không là nghiệm của phương trình (2)) 

2 6 8 5 x x x   

y = x – 1 + . Vì x , y là nguyên nên x – 5 là ước của 3  3

5 x 

Hay x – 5 { - 1, 1, 3 , - 3}hay x { 4, 6 , 8 , 2}   Khi x = 2 thì y = 0 . Khi x =4 thì y = 0 Khi x = 6 thì y = 8 . Khi x= 8 thì y =8

Vậy phương trình có nghiệm nguyên là ( x, y)= (2, 0) ,(4 , 0) ,(6, 8) ,(8, 8)

0,5điểm

0,25điểm

0,25điểm

0,5điểm

0,25điểm

0,25điểm

ThuVienDeThi.com