Đề khảo sát học sinh giỏi lớp 8 năm học 2013 - 2014 môn Toán

Bài 1 (5,0 điểm)

1. Phân tích đa thức thành nhân tử :

A = (x - 1)(x + 2)(x - 3)(x + 4) - 144

2. Cho đa thức F(x) = x3 + ax2 + bx + c (với a, b, c R). 

Biết đa thức F(x) chia cho đa thức x - 2 thì dư 5, chia cho đa thức x + 1 thì dư -4.

Hãy tính giá trị (a3 + b3)(b5 + c5)(c7 + a7) ?

Bài 2 (4,0 điểm)

1. Giải phương trình :

2 2 2 5- x 4- x x -3 -1= - 2012 2013 2014

2. Giải phương trình nghiệm nguyên : 1 1 1 1 + + = x y 2xy 2

Bài 3 (3,0 điểm)

1. Cho ba số thực a, b, c có tích bằng . Hãy rút gọn biểu thức : 2 a b c 2 S = + + bc +b+1 ab+a+ 2 ac +c 2 + 2

2. Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn x + y 10. 

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau : 30 5 P = 2x + y + + x y

Bài 4 (5,5 điểm)

Cho hình vuông ABCD, M là một điểm nằm giữa B và C. Kẻ AN vuông góc với AM, AP

vuông góc với MN (N và P thuộc đường thẳng CD).

1. Chứng minh tam giác AMN vuông cân và AN2 = NC . NP

2. Tính tỉ số chu vi tam giác CMP và chu vi hình vuông ABCD.

3. Gọi Q là giao điểm của tia AM và tia DC. Chứng minh tổng không đổi khi 2 2 1 1 + AM AQ điểm M thay đổi trên cạnh BC.

Bài 5 (2,5 điểm)

Cho tam giác ABC và O là một điểm bất kỳ trong tam giác. Các tia AO, BO, CO cắt các

cạnh BC, CA, AB thứ tự tại các điểm P, Q, R. Chứng minh 8 OA OP

OB OQ

OC OR 

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ THÁI BÌNH

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 8 NĂM HỌC : 2013 - 2014 MÔN : TOÁN Thời gian làm bài : 120 phút

. .

ThuVienDeThi.com

Bài 1 (5,0 điểm)

1. A = (x - 1)(x + 2)(x - 3)(x + 4) - 144 = [(x - 1)(x + 2)].[(x - 3)(x + 4)] - 144 0.25 = (x2 + x - 2)(x2 + x - 12) - 144 0.25 = (x2 + x - 7 + 5)(x2 + x - 7 - 5) - 144 0.5 = (x2 + x - 7)2 - 25 - 144 0.25 = (x2 + x - 7)2 - 169 0.25 = (x2 + x - 7 - 13)(x2 + x - 7 + 13) 0.25 = (x2 + x - 20)(x2 + x + 6) 0.25 = (x2 - 4x + 5x - 20)(x2 + x + 6) 0.25 = (x - 4)(x + 5)(x2 + x + 6) 0.25 2. Gọi thương của phép chia F(x) cho x - 2 và x + 1 lần lượt là P(x) và Q(x) Suy ra : x3 + ax2 + bx + c = (x - 2). P(x) + 5 (1) x3 + ax2 + bx + c = (x + 1). Q(x) - 4 (2)

0.5

Thay x = 2 vào (1) ta có : 8 + 4a + 2b + c = 5  4a + 2b + c = -3 (3) 0.5 Thay x = -1 vào (2) ta có : -1 + a - b + c = -4  a - b + c = -3 (4) 0.5 Từ (3) và (4) => 4a + 2b + c = a - b + c => 3a = -3b => a = -b 0.5 => a3 = -b3 => a3 + b3 = 0 => (a3 + b3)(b5 + c5)(c7 + a7) = 0 0.5

Bài 2 (4,0 điểm)

1.

2 2 2 5- x 4- x x -3 -1= - 2012 2013 2014



2 2 2 5- x 4- x x -3 +1= +1- +1 2012 2013 2014

0.5



2 2 2 2017- x 2017- x x - 2017 = - 2012 2013 2014 0.25



2 2 2 2017- x 2017- x 2017- x - - = 0 2012 2013 2014 0.25

( )(  2 1 1 1 2017- x - - ) = 0 2012 2013 2014 0.25

( vì )  2 2017- x = 0  1 1 1 - - 0 2012 2013 2014 0.25

 2 x = 2017   x = 2017 0.25 Vậy tập nghiệm của phương trình là S = { ; } 2017 2017 0.25

2. ĐKXĐ : x 0 , y 0 1 1 1 1 + + = x y 2xy 2   0.25

=> 2y + 2x + 1 = xy 0.5  xy - 2x - 2y - 1 = 0  x(y - 2) - (2y - 4) - 5 = 0  (y - 2)(x - 2) = 5

0.5

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ THÁI BÌNH

HƯỚNG DẪN CHẤM KHẢO SÁT HSG LỚP 8 NĂM HỌC : 2013 - 2014 MÔN : TOÁN

ThuVienDeThi.com