Đề thi chọn học sinh năng khiếu năm học 2015 2016. lần 1 môn Toán 8

TRƯỜNG THCS VĂN MIẾU ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU

NĂM HỌC 2015 – 2016. LẦN 1

Môn: Toán 8

(Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề )

( Đề thi có 01 trang )

Câu 1 (4,0 điểm).

a) Tìm số tự nhiên n để giá trị biểu thức là số      4 3 2 A n n 6n 7n 21 nguyên tố.

b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì .     n B 4 15n 10 9

Câu 2 (4,0 điểm).

a) Tìm các số nguyên dương x, y, z khác nhau sao cho    1 1 1 1 x y z

b) Tính giá trị của biểu thức .          a b 2014c C ab a 2014 bc b 1 ac 2014c 2014

Biết abc = 2014.

Câu 3 (4,0 điểm).

a) Giải phương trình .          2 x 3x 2 2x 3 2x 5 30

b) Tìm tất cả các cặp số (x, y) thỏa mãn điều kiện .     3 3 4 4 x y x y 1

Câu 4 (6,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BC, AC. Gọi O là giao điểm các đường trung trực của BC và AC.

a) Chứng minh rằng đồng dạng với ; OMN HAB

b) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng đồng dạng HAG với ; OMG

c) Chứng minh rằng ba điểm H, O, G thẳng hàng và GH = 2GO.

Câu 5 (2,0 điểm). Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 3.

Chứng minh rằng: . 2 2 2 + + 1+a 1+b 1+c 3 1+b 1+c 1+a



–––––––––––– Hết ––––––––––––

Họ và tên thí sinh ........................................................................ SBD.....................

Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

ĐỀ CHÍNH THỨC

ThuVienDeThi.com

1

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH NĂNG KHIẾU NĂM HỌC 2015 - 2016

Môn Toán - Lớp 8

Lưu ý: Học sinh làm bài theo cách khác tổ chấm thống nhất cho điểm tương ứng với hướng dẫn chấm./.

Câu 1 ( 4,0 điểm).

a) Tìm số tự nhiên n để giá trị biểu thức là số      4 3 2 A n n 6n 7n 21 nguyên tố.

b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì .     n B 4 15n 10 9

Đáp án Điểm a) Phân tích        3 2 A n 3 n 2n 7 0,50

Nhận xét: với mọi số tự              3 2 3 2 2 n 2n 7 n 3 n n (n n 10) 0

nhiên n. 0,50

Để A là số nguyên tố thì n - 3 = 1, hay n = 4. 0,50 Thử lại: n = 4 thì P = 103 là số nguyên tố. Vậy số tự nhiên cần tìm là n = 4. 0,50

b) Với n = 0 thì thỏa mãn.     B 9 9 n 0 0,50

Giả sử bài toán đúng với n = k ( ). Tức là:  k N     k k B 4 15k 10 9 0,50

Ta chứng minh bài toán đúng với n = k +1. Thật vậy:

                k 1 k k 1 k B 4 15(k 1) 10 4. 4 15k 10 45k 45 4.B 45k 45 9 0,50

Vậy: với mọi số tự nhiên n.     n B 4 15n 10 9 0,50

Câu 2 (4,0 điểm).

a) Tìm các số nguyên dương x, y, z khác nhau sao cho    1 1 1 1 x y z

b) Tính giá trị của biểu thức:         

 a b 2014c C

ab a 2014 bc b 1 ac 2014c 2014

Biết abc =2014.

Đáp án Điểm Do vai trò của x, y, z bình đẳng nên không mất tính tổng quát, giả sử

                1 1 1 1 1 1 3 0 x y z 1 0 x 3 x 1,2 x y z x y z x

0,50

+ Với 1 1 1 0 (Vô lí) x y z    0,50

+ Với 1 1 1 1 1 1 2 2 2 4 3 6 2 2 x y y z y z y z y                0,50

Vậy: (x, y, z) = (2, 3, 6) và các hoán vị . 0,50

ThuVienDeThi.com