Toán - Phương pháp tích phân từng phần

Phương pháp tích phân từng phần

A. Tóm tắt lý thuyết

Công thức tích phân từng phần:

      u x d v x u x v x v x d u x             ;

     

b b b

a a a u x d v x u x v x v x d u x             .

Vài tình huống gợi ý việc sử dụng công thức tích phân từng phần:

 Tích phân   v x d u x      dễ tính hơn tích phân   u x d v x      ;

 Biểu thức dưới dấu tích phân có chứa  ' u x dx ;

 Biểu thức  'v x đơn giản.

B. Các dạng toán hay gặp

Dạng 1. Tích phân từng phần có quy tắc

 Nội dung phương pháp

 Quy tắc khử đa thức

Xét các tích phân  1

ax I P x e dx  ,  2 sin I P x axdx  ,  3 cos I P x axdx  , trong đó

 P x là một hàm đa thức, a là hằng số khác 0 . Ba tích phân nói trên có cách tính tương tự,

sau đây ta nêu cách tính 1I .

        1

1 1 1 ' ax ax ax ax ax I P x d e P x e e d P x P x e e P x dx a a a

                .

Việc tính 1I được quy về tính tích phân  ' ax J e P x dx  . Đa thức dưới dấu tích phân J là

 ' P x có bậc thấp hơn đa thức dưới dấu tích phân 1I một đơn vị. Ta lặp lại quá trình trên cho

đến khi đa thức dưới dấu tích phân bị khử hoàn toàn.

Cách tích phân 2I , 3I cũng được tính một cách tương tự.

 Quy tắc khử Lô-ga

Xét tích phân lnk I P x xdx  . Ta có  lnk I xdF x  , trong đó  F x là một nguyên hàm

của  P x . Áp dụng công thức tích phân từng phần ta có

     1 ln ln ' ln ln k k k k F x I xF x F x x dx xF x k xdx x

       .

ThuVienDeThi.com

2

Ta luôn có thể chọn  F x sao cho  F x có nhân tử là x , do đó biểu thức  F x

x thực chất

là một đa thức đồng bậc với  P x . Như vậy, so với I thì  1 lnk F x J xdx x

  có lũy thừa

của Lô-ga nhỏ hơn một đơn vị. Ta lặp lại quá trình trên cho đến khi biểu thức Lô-ga bị khử

hoàn toàn.

 Xét hai tích phân 1 sin ax I e bxdx  và 2 cos ax I e bxdx  . Hai tích phân nói trên có

phương pháp tính tương tự. Dưới đây, ta chỉ xét 1I .

    1

1 1 1 sin sin sin sin cos ax ax ax ax ax I bxd e bxe e d bx bxe b e bxdx a a a                

1 sin cos ax ax b bxe e bxdx a a     2 1 sin cos ax ax b bxe bxd e a a   

2 1 sin cos ax b bxe e d bx a a   

2

2 2 1 sin cos sin ax ax ax b b bxe bxe e bxdx a a a    

2

1 2 2 1 sin cos ax ax b b bxe bxe I a a a    .

Từ đó, ta tính được 1I .

 Một số ví dụ

Ví dụ 1. Tính tích phân sau:

1) [ĐHD06]  

1

2

0

2 x I x e dx    .

2)  

ln3

2

1

2 x J x x e dx    .

Giải

1)       

1 1 1 1 2 2 2 2 2

0 0 0 0

1 1 1 2 2 2 2 2 2 2

x x x x I x d e x e e d x e e dx                         

 

1 2 2 2 2 2

0 1 1 1 1 3 5 2 2 1 2 2 2 2 4 4

x e e e e e                       

.

2) Ta có

         

ln3 2 2 2 2

1 1 1 1 2 2 2 3 ln 3 2ln3 2 1 x x x x

K

J x x de x x e e d x x e x e dx               

.

Lại có

ThuVienDeThi.com