Các bổ đề Hình học

I. CÁC BỔ ĐỀ VỚI CÁC YẾU TỐ ĐẶC BIỆT CỦA TAM GIÁC:

1. Nếu 1 tam giác vuông có một cạnh góc vuông bằng nửa cạnh huyền hoặc một cạnh

góc vuông bằng cạnh huyền nhân √

hoặc cạnh huyền bằng một cạnh góc vuông nhân

√

thì tam giác vuông ấy có 1 góc bằng 300 và 1 góc bằng 600.

2. Cho ABC nhọn, 3 đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H.

2.1. H là giao điểm 3 đường phân giác của DEF.

2.2. Trong các tam giác mà các đỉnh lần lượt thuộc cạnh của ABC , DEF có chu vi bé nhất. (Định lý Fagnano).

2.3. Vị trí của A, H đổi nhau nếu  0 . Khi đó A là giao điểm 3 đường phân giác của DEF.

3. Cho tam giác ABC có các đường cao AD, BE, CF. Nếu M, N lần lượt là đối xứng của D qua AB, AC thì M, N, F thẳng hàng.

D

E

F

H

B C

A

ThuVienDeThi.com

4. Cho tam giác ABC có trung tuyến AM:

.1.

{

AM BC

2 Â 0

AM BC

2 Â 0

AM BC

2 Â 0

4.2. {AB AC MAB ̂ MAC ̂ AB AC AMB ̂ AMC ̂

4.3. Nếu E AB,F AC,EF//BC thì AM qua trung điểm N của EF.

5. Cho tam giác ABC. Lấy D nằm giữa B và C, E nằm trên đường thẳng BC nhưng không nằm giữa B, C.

 Nếu

thì AD là đường phân giác trong của tam giác ABC.

 Nếu

thì AE là đường phân giác ngoài của tam giác ABC.

 Nếu AD, AE lần lượt là đường phân giác trong và phân giác ngoài, m là đường

thẳng bất kì không qua A cắt AB, AC, AD, AE lần lượt tại M, N, P, Q thì

PM

PN QM

QN MP

MQ NP

NQ

N

M

D

E

F

H

B C

A

ThuVienDeThi.com

6. Cho tam giác ABC nội tiếp (O R) có H là trực tâm, G là trọng tâm. M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB.

 AH 2OM BH 2ON CH 2OP  H, G, O thẳng hàng và GH 2GO

7. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

 O nằm trong tam giác ABC nhọn  O nằm trong góc BAC và nằm ngoài tam giác  0

8. Cho tam giác ABC. E, F lần lượt là trung điểm của AB, AC. M, N là hình chiếu của A lên các phân giác ngoài và trong tại đỉnh B. P, Q là hình chiếu của A lên các phân giác trong và ngoài tại đỉnh C. Ta có M, N, P, Q, E, F thẳng hàng.

N M

D E B C

A

Q

P

ThuVienDeThi.com

10. Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P là các tâm đường tròn bàng tiếp của tam giác, I là tâm đường tròn nội tiếp.

 I là trực tâm tam giác MNP  (I r),(M r ), (N r ), (P r ) lần lượt là các đường tròn nội tiếp và bàng tiếp của

tam giác ABC. D, E, F là các tiếp điểm của I với BC, CA, AB. H, J, K là các tiếp điểm của (M) với BC, AB, AC. Ta có

{2AE 2AF AB AC BC

2AJ 2AK AB AC BC

Hệ quả 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH và r, r ,r là bán kính các đường tròn nội tiếp ABC, HAB, HAC. R,R ,R lần lượt là bán kính các đường tròn bàng tiếp trong góc vuông của các tam giác ABC, ABH, ACH. Ta có:

 r r r AH.  R R R AB BC CA AH

Hệ quả 2: Nếu tam giác ABC vuông ở A có BC cố định thì:

 max(r r r )

AB AC

 max(R R R)

( √ )

AB AC

II. CÁC BỔ ĐỀ VỀ TỨ GIÁC:

1. Trung điểm các cạnh của 1 tứ giác là các đỉnh của 1 hình bình hành hoặc trung điểm 2 cạnh đối và 2 đường chéo là đỉnh của 1 hình bình hành. (nếu chúng không thẳng hàng).

2. Nếu tứ giác có 2 cạnh đối bằng nhau thì trung điểm 2 cạnh còn lại và trung điểm 2 đường chéo là đỉnh của 1 hình thoi.

3. Trong hình thang có 2 cạnh bên không song song, giao điểm 2 đường thẳng chứa 2 cạnh bên, giao điểm 2 đường chéo và trung điểm 2 đáy cùng nằm trên 1 đường thẳng.

ThuVienDeThi.com