Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. 1

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐATHỨC THÀNH NHÂN TỬ

Chú ý: Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

1. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT NHÂN TỬ CHUNG

Trong một đa thức nếu các hạng tử có nhân tử giống nhau thì ta có thể đưa ra làm nhân tử chung theo công thức sau: A.B + A.C = A(B + C). a/ Các ví dụ: Ví dụ1 :

Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 2x – 4y. Giải : Ta có : 2x – 4y = 2.x – 2.2y = 2( x – 2y). Nhận xét : Ở đây nhân tử chung là 2 do đó ta có thể đưa ra ngoài làm nhân tử chung theo công thức A.B + A.C = A(B + C) như vậy khi dạy, cần chú ý học sinh xác định được nhân tử chung . Sau ví dụ 1 và nhận xét, giáo viên cho học sinh tiếp tục thực hiện ví dụ 2 Ví dụ2 :

Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 3(a – b) – 5a(b – a). Giải : Ta có : 3(a – b) – 5a(b – a) = 3(a – b) + 5a (a – b) = (a – b)(3 + 5a) . Nhận xét : Ở ví dụ 2 đa thức cần phân tích có hai hạng tử là 3(a – b) và – 5a(b – a) nhìn qua ta chưa thấy nhân tử chung. Ta có thể đổi dấu – 5a(b – a) thành 5a (a – b) để xuất hiện nhân tử chung rồi đặt nhân tử chung . Khi dạy học sinh thông qua 2 ví dụ, giáo viên có thể đưa ra thêm ví dụ 3 để rèn luyện cho học sinh được thành thạo về các bước phân tích. Ví dụ3 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 5x(x – 2y)2 – 10y(x – 2y). Giải : Ta có : 5x(x – 2y)2 – 10y(x – 2y) = 5(x – 2y)2.x – 5(x – 2y).2y (Nhân tử chung ở đây là 5(x – 2y)) = 5(x – 2y)[x (x – 2y) – 2y] = 5(x – 2y)( x2 – 2xy – 2y) .

Nhận xét:

ThuVienDeThi.com

Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. 2

Đối với các ví dụ trên khi sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung giáo viên cần chú ý cho học sinh cách tìm nhân tử chung với đa thức có hệ số nguyên như sau: + Hệ số là ƯCLN của các hệ số nguyên dương của các hạng tử .

+ Các lũy thừa bằng chữ có mặt trong mọi hạng tử với số mũ của mỗi lũy thừa là số mũ nhỏ nhất của nó. b/ Bài tập tự luyện: Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a, 4x – 16y. b, a2 + ab – a. c, 6x(x – y ) – 8y (y – x ). d, 7x2 – 14xy2 + 21x2y2. Bài 2: Tìm x biết x3 +2x = 0. Bài 3: Chứng minh rằng n2(n + 1) + 2n(n + 1) luôn chia hết cho 6 với mọi số nguyên n . c/ Hướng dẫn giải bài tập tự luyện: Các bước giải và kết quả như sau: Bài 1: a, 4x – 16y = 4(x – 4y). b, a2 + ab – a =a(a + b -1). c, 6x(x – y) – 8y (y – x) = 2(x –y ).3x + 2(x – y).4y = 2(x –y )(3x + 4y).

d, 7x2 – 14x y2 + 21x2y2 = 7x.x – 7x.2y2 + 7x.3xy2 = 7x(x – 2y2 + 3xy2). Bài 2: Ta có : x3 + 2x = 0  x(x2 + 2 ) = 0  x = 0 hoặc x2 + 2 = 0 + x = 0 . + x2 + 2 = 0 (vô lý vì x2  0 vớix). Vậy x = 0 . Bài 3: Ta có: n2(n + 1) + 2n(n + 1) = n .n .(n + 1) + 2n(n +1) = n( n + 1)(n + 2). Khi n Z thì n( n + 1)(n + 2) là tích của ba số nguyên liên tiếp nên 2; 3 mà(2,3) =1 do đó n( n + 1)(n + 2)  6.

2. PHƯƠNG PHÁP DÙNG HẰNG ĐẲNG THỨC

ThuVienDeThi.com

Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. 3

Các hằng đẳng thức đáng nhớ : A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 A2 – 2AB + B2 = (A – B)2 A2 – B2 = (A + B) (A – B) A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 = (A+B)3 A3 – 3A2B + 3AB2 – B3 = (A – B)3 A3 + B3 = (A + B) (A2 – AB + B2) A3 – B3 = (A – B) (A2 + AB + B2) Phương pháp này chủ yếu là vận dụng các hằng đẳng thức để phân tích, như vậy học sinh phải học thuộc các hằng đẳng thức . a/ Các ví dụ: Ví dụ 1:

Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a2 – 6ab + 9b2. Giải : Ta có : a2 – 6ab + 9b2 = a2 – 2.a .3b + (3b)2 = ( a – 3b)2 . Nhận xét: Ở đây ta đã viết các hạng tử thứ nhất và thứ ba của đa thức dưới dạng một lũy thừa để áp dụng hằng đẳng thức bình phương của một hiệu . Qua ví dụ này học sinh chú ý khi một đa thức có ba hạng tử, trong đó có hai hạng tử được viết dưới dạng một lũy thừa thì ta nghĩ đến hằng đẳng thức bình phương của một hiệu hoặc bình phương của một tổng. Ví dụ 2:

Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 – 9 . Giải : Ta có : x2 – 9 = x2 – 32 = (x – 3)(x + 3). Nhận xét: Để áp dụng được hằng đẳng thức thì hạng tử thứ hai của đa thức phải được viết dưới dạng một lũy thừa 9 = 32.Khi đó hằng …