Đề khảo sát HSG cấp tỉnh năm học 2014 - 2015 môn Toán 8

ĐỀ KHẢO SÁT HSG CẤP TỈNH NĂM HỌC 2014 - 2015

MÔN: TOÁN 8 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1. (4,0 điểm)

1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: . 4 2 2013 2012 2013 x x x   

2. Rút gọn biểu thức sau: .

2 2

2 2 3 2 2 2 1 2 A 1 2 8 8 4 2 x x x x x x x x x                    

Câu 2. (4,0 điểm)

1. Giải phương trình sau:

2 2 2 2 2 2 (2 2013) 4( 5 2012) 4(2 2013)( 5 2012) x x x x x x x x          

2. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn 3 2 3 x 2x 3x 2 y .    

Câu 3. (4,0 điểm)

1. Tìm đa thức f(x) biết rằng: f(x) chia cho dư 10, f(x) chia cho dư 24, f(x) 2 x  2 x  chia cho được thương là và còn dư. 2 4 x  5x 

2. Chứng minh rằng:

2 2 2 ( )( ) ( )( ) ( )( ) a b c b c a c a b a b c b a c a c b         

Câu 4. (6,0 điểm)

Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm F sao cho AE = AF. Vẽ AH vuông góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC và BC lần lượt tại hai điểm M, N.

1. Chứng minh rằng tứ giác AEMD là hình chữ nhật. 2. Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH. Chứng minh rằng: AC = 2EF.

3. Chứng minh rằng: . 2 2 2 1 1 1 = + AD AM AN

Câu 5. (2,0 điểm)

Cho là ba số dương thoả mãn . Chứng minh rằng : , , a b c 1 abc 

. 3 3 3 1 1 1 3 ( ) ( ) ( ) 2 a b c b c a c a b      

ThuVienDeThi.com

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KHẢO SÁT HSG CẤP TỈNH NĂM HỌC 2014 – 2015 MÔN: TOÁN 8 Bản hướng dẫn chấm có 04 trang

Câu 1 Hướng dẫn giải (4.0 điểm) Ta có 4 2 2013 2012 2013 x x x   

  4 2 2013 2013 2013 x x x x     

0,5

     2 2 1 1 2013 1 x x x x x x        0.5

   2 2 1 2013 x x x x      0.5

1 (2.0 điểm)

Kết luận 4 2 2013 2012 2013 x x x       2 2 1 2013 x x x x      0.5

ĐK: 0 2 x x

   

0.25

Ta có

2 2

2 2 3 2 2 2 1 2 A 1 2 8 8 4 2 x x x x x x x x x                    

0.25

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2( 4) 4(2 ) (2 ) x x x x x x x x x x                  

0.25

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 ( 1)( 2) ( 2) 4 ( 1)( 2) 2( 4) ( 4)(2 ) 2( 2)( 4) x x x x x x x x x x x x x x x x x                                       

0.5

3 2 2 2

2 2 2 2 4 4 4 1 ( 4)( 1) 1 . 2( 4) 2 ( 4) 2 x x x x x x x x x x x x x x             0.5

2 (2.0 điểm)

Vậy với . 1 A 2 x

x   0 2 x x

    0.25

Câu 2 (4.0 điểm)

Đặt:

2

2 2 2013

5 2012

a x x

b x x

      

0.25

Phương trình đã cho trở thành:

2 2 2 4 4 ( 2 ) 0 2 0 2 a b ab a b a b a b          

0.5

Khi đó, ta có:

2 2 2 2 2 2013 2( 5 2012) 2 2013 2 10 4024 x x x x x x x x            0.5

. 2011 11 2011 11 x x      0.5

1 (2.0 điểm)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất . 2011

11 x   0.25

Ta có (1)

2 3 3 2 3 7 y x 2x 3x 2 2 x 0 x y 4 8                

0.5 2 (2.0 điểm)

(2)

2 3 3 2 9 15 (x 2) y 4x 9x 6 2x 0 y x 2 4 16                  

0.5

ThuVienDeThi.com

Từ (1) và (2) ta có x < y < x+2 mà x, y nguyên suy ra y = x + 1 0.25

Thay y = x + 1 vào pt ban đầu và giải phương trình tìm được x = -1; từ đó tìm được hai cặp số (x, y) thỏa mãn bài toán là: (-1 ; 0)

0.5

KL 0.25

Câu 3 (4 điểm) Giả sử f(x) chia cho được thương là và còn dư là . 2 4 x  5x  ax b  Khi đó: 2 f ( ) ( 4).( 5 ) ax+b x x x     0.5

Theo đề bài, ta có:

7 (2) 24 2 24

2 ( 2) 10 2 10 17

f a b a f a b b

                     

0.5

Do đó: 2 7 f ( ) ( 4).( 5 ) x+17 2 x x x     0.5

1 (2.0 điểm)

Vậy đa thức f(x) cần tìm có dạng: 3 47 f ( ) 5 17. 2 x x x    0.5

Ta có: 2 2 2 ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0 (1) a b c b c a c a b a b c b a c a c b          

Đặt:

2

2

2

x z a a b c x

x y b c a y b

a c b z y z c

                        

0.25

Khi đó, ta có:

2 2 2 (1)

1 VT . . ( )( ). 2 2 2 2 2 2 4 x z x y y z y z x z x y y x x y x y z                         

0.5

2 2 2 2 2 1 . . . . ( ) 2 2 2 2 4 x z x z …