Đê thi chọn học sinh năng khiếu lớp 8 THCS năm học 2013 - 2014 môn Toán

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH THỦY

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP 8 THCS NĂM HỌC 2013 - 2014

MÔN: TOÁN Thời gian: 150 phút không kể thời gian giao đề

Đề thi có: 01 trang

Câu 1 (4 điểm)

a) Tìm các cặp số tự nhiên (x, y) thoả mãn (x + 1)y = x2 + 4. b) Tìm số nguyên dương n để n5 +1 chia hết cho n3 +1.

Câu 2 (3 điểm)

Cho biểu thức .

2 2 2 2 2 2

2 2 2 x x y y x xy y P : x x xy xy y xy x y                 a) Rút gọn P.

b) Tìm giá trị của P với và . 2 1 1 x   1 1 2 y  

Câu 3 (4 điểm)

a) Cho các số a, b, c thoả mãn .   2 b c, a b c, c 2 ac bc ab      

Chứng minh rằng: .    

2 2

2 2 a a c a c b c b b c

      

b) Giải phương trình .      x 1 x 5 x 3 x 7 297     

Câu 4 (7 điểm)

Cho Tam giác ABC vuông cân ở A. Điểm M trên cạnh BC. Từ M kẻ ME vuông góc với AB, kẻ MF vuông góc với AC (E AB; F AC )   a) Chứng minh: FC.BA + CA.B E = AB2 và chu vi tứ giác MEAF không phụ thuộc vào vị trí của M.

b) Chứng tỏ đường thẳng đi qua M vuông góc với EF luôn đi qua một điểm cố định. c) Tìm vị trí của M để diện tích tứ giác MEAF lớn nhất. Câu 5 (2 điểm)

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức B = x + y + z. Biết rằng x, y, z là các

số thực thoả mãn điều kiện y2 + yz + z2 = 1007 - . 2 3 2 x

.......... Hết .........

Họ và tên thí sinh:……………………………………..SBD:……………

Cán bộ coi thi không cần giải thích gì thêm./.

Đề chính thức

ThuVienDeThi.com

HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP 8 THCS

NĂM HỌC 2013 - 2014

MÔN: TOÁN Hướng dẫn chấm có: 04 trang

A. Một số chú ý khi chấm bài.

Đáp án dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách giải. Thí sinh giải cách khác mà đúng thì tổ chấm cho điểm từng phần ứng với thang điểm của hướng dẫn chấm.

B. Đáp án và thang điểm.

Câu 1 (4 điểm)

a) Tìm các cặp số tự nhiên (x, y) thoả mãn (x + 1)y = x2 + 4. b) Tìm số nguyên dương n để n5 +1 chia hết cho n3 +1.

a) Ta có (*)          2 2 1 4 1 1 5 1 1 5 x y x x y x x y x              0,5đ

Vì nên từ (*) suy ra Ư(5) và ,x y N  1 x   1 1 1 1;5 x x   0,5đ - Với x + 1 = 1 . Suy ra x = 0, y = 4. 1 5 y x    0,5đ - Với x + 1 = 5 . Suy ra x = 4, y = 4. 1 1 y x    Vậy, các cặp số tự nhiên (x;y) cần tìm là: (0;4), (4,4). 0,5đ

b) Ta có    5 2 3 2 5 3 2 3 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n n n n          M M 0,5đ         2 2 1 1 1 1 1 1 n n n n n n n n           M M 0,5đ

- Với n = 1 thì n - 1 = 0   2 1 1 n n n    M 0,5đ

- Với n > 1 thì không thể xảy ra khả năng  

2 1 1 1 1 n n n n n     

.    2 1 1 n n n    M

Vậy, n = 1 là giá trị duy nhất cần tìm.

0,5đ

Câu 2 (3 điểm)

Cho biểu thức .

2 2 2 2 2 2

2 2 2 : x x y y x xy y P x x xy xy y xy x y                 a) Rút gọn P.

b) Tìm giá trị của P với và . 2 1 1 x   1 1 2 y  

ĐKXĐ: . 0; 0; x y x y    0,25đ

a)    

2 2 2 2

2 2 2 . x x y y x y P x x x y xy y x y x xy y

                 

 

      

2 2 2 2

2 2 2 . x y x y x y xy x y x xy x y xy x y xy x y x xy y

                   

 

2 3 2 2 3 2

2 2 2 . x y x x y xy y xy x y x xy x y x xy y

                 

0,5đ

0,5đ

ThuVienDeThi.com