Đề thi học sinh năng khiếu năm học 2010 2011 môn Toán lớp 8

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH THỦY

ĐỀ THI HỌC SINH NĂNG KHIẾU NĂM HỌC 2010 – 2011

MÔN TOÁN LỚP 8

Đề thi có : 01 trang. (Thời gian làm bài: 150 phút không kể thời gian giao đề)

Câu 1 ( 6 điểm):

Cho biÓu thøc : (víi x 0, 2)             

      1 2 2

1 4

2 2 1

2 x x x x x A  

a) Rút gọn A. b) Tính giá trị của biểu thức A tại x thoả mãn: 2x2 + x = 0

c) Tìm x để A= 2 1

d) Tìm x nguyên để A nguyên dương. Câu 2 ( 4 điểm): a)Chứng minh đẳng thức : (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a)

b) Cho a,b,c là ba số thoả mãn điều kiện a+b+c=1 và a3+b3+c3=1.

Chøng minh r»ng: a2011+b2011+c2011=1.

Câu 3 ( 4 điểm):

a) Chứng minh m, n, p, q ta đều có m + n + p + q +1 m(n+p+q+1) 2 2 2 2

b) Tìm các số nguyên dương x, y thoả mãn . 3xy x 15y 44 0    

Câu 4 ( 6 điểm):

Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh AC. Từ C vẽ một đường thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E. a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC và A A EAD ECB  b) Cho và . Tính SEBC? A 0 120 BMC  2 36 AED S cm  c) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì tổng BM.BD + CM.CA có giá trị không đổi. d) Kẻ . Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BH, DH BC    H BC  DH. Chứng minh . CQ PD 

HÕt

Họ và tên học sinh:......................................................., số báo danh:...................

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Đề chính thức

ThuVienDeThi.com

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH THỦY

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH NĂNG KHIẾU NĂM HỌC 2010 – 2011

MÔN TOÁN LỚP 8

Câu 1 ( 6 điểm): Cho biểu thức : với x 0, 2             

      1 2 2

1 4

2 2 1

2 x x x x x A  

a) Rút gọn A. b) Tính giá trị của biểu thức A tại x thoả mãn: 2x2 + x = 0

c) Tìm x để A= 2 1

d) Tìm x nguyên để A nguyên dương.

Đáp án Thang điểm

a) = ... =             

      1 2 2

1 4

2 2 1

2 x x x x x A 4

2 x





2®

b) 2x2 + x = 0 x(2x + 1) = 0 x= 0(Không thỏa mãn ĐK)  

hoÆc x = 1

2 

Víi x = th× A = 1 2  4 8 1 3 2 2

   

1®

0,5®

c) §Ó A = hay = x +2 = -8 x = -10 2 1 4

2 x



 2 1   1®

d) Để A nguyên dương thì x+2 là ước âm của 4, khi đó: x + 2 = -1 x= -3 khi đó A = 4  x + 2 = -2 x = -4 khi đó A = 2  x + 2 = -4 x = -6 khi đó A = 1 

0,5® 0,5® 0,5® Câu 2 ( 4 điểm):

a)Chứng minh đẳng thức : (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a)

b) Cho a,b,c là ba số thoả mãn điều kiện a+b+c=1 và a3+b3+c3=1.

Chøng minh r»ng: a2011+b2011+c2011=1.

Đáp án Thang điểm a) Ta có: (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = [(a + b + c)3 - a3] - (b3 + c3) = (b + c)[(a + b + c)2 + (a + b + c)a + a2] - (b + c)(b2 - bc + c2) = (b + c)(3a2 + 3ab + 3bc + 3ca) = 3(b + c)[a(a + b) + c(a + b)] = 3(a + b)(b + c)(c + a) Vậy (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a)

0,5® 0,5® 0,5® 0,5®

b) Do a3+b3+c3=1 và a+b+c=1 ta có. a3+b3+c3 = (a+b+c)3 0,5®

ThuVienDeThi.com

3(a+b)(b+c)(c+a)=0 ( theo phÇn a) 

a=-b hoÆc b=-c hoÆc c=-a 

NÕu a=-b ta cã a2011+ b2011+ c2011 = a2011 - a2011+ c2011 = c2011= 1

Tương tự ta cũng có kết luận như trên

VËy a2011 + b2011 + c2011 = 1

0,5®

0,5®

0,5® Câu 3 ( 4 điểm):

a) Chứng minh m, n, p, q ta đều có m + n + p + q +1 m(n+p+q+1) 2 2 2 2 b) Tìm các số nguyên dương x, y thoả mãn . 3xy x 15y 44 0     Đáp án Thang điểm a) m + n + p + q +1 m(n+p+q+1) 2 2 2 2

0 1 4 4 4 4

2 2 2 2 2 2 2

  

  

     

  

     

  

     

  

    m m q mq m p mp m n mn m

(luôn đúng) 0 1 2 2 2 2

2 2 2 2

                                 m q m p m n m

Dấu bằng xảy ra khi

   



  





 

 

 

 

0 1 2

0 2

0 2

0 2

m

q m

p m

n m



  



  













2 2

2

2

m

m q

m p

m n



  

  



1 2

q p n

m

1®

0,5®

0,5®

b)    3xy x 15y 44 0 x 5 3y 1 49         x, y nguyên dương do vậy x + 5, 3y + 1 nguyên dương và lớn hơn 1. Thoả mãn yêu cầu bài toán khi …