Đề thi olympic môn Toán 8 năm học 2014 2015 Trường thcs Cao Dương

PHÒNG GD&ĐT THANH OAI

TRƯỜNG THCS CAO DƯƠNG

ĐỀ THI OLYMPIC

MÔN TOÁN 8

Năm học 2014 – 2015

Câu I(6 điểm):

1, Cho biểu thức:

2

2 2 2 2 3 2 8 3 21 2 8 : 1 4 12 5 13 2 20 2 1 4 4 3 x x x x P x x x x x x x                     

a, Rút gọn

b, Tính giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên.

2,Giải phương trình: 17 21 2 4 1997 1993 1008 x x x      

Câu II(4 điểm):

1, Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2 2 2 5 3 7 x xy y   

2,Cho biểu thức: 2 2 ( 8) 36 x  

Tìm để biểu thức trên là số nguyên tố x N 

Câu III(3 điểm):

Tìm giá trị nhỏ nhất của: 1 1 1 A a b c   

Biết a,b,c >0 và: a + b + c =1

Câu IV(6 điểm):

Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’ cắt nhau tại H

a, CHứng minh ∆AB’C’ ~∆ABC

b, Tính tổng: ' ' ' AA' ' ' HA HB HC BB CC  

c, AI là phân giác của góc BAC, IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM

d, ∆ABC như thế nào thì biểu thức: Đạt giá trị nhỏ nhất  

2

2 2 2 AA' ' ' AB BC CA BB CC    

Câu V(1 điểm): Xác đinh các số nguyên a và b để đa thức: chia 4 3 2 3 3 ax x x x b     hết cho đa thức: 2 3 4 x x  

ThuVienDeThi.com

PHÒNG GD& ĐT THANH OAI HƯỚNG DẪN CHẤM THI OLYMPIC

TRƯỜNG THCS CAO DƯƠNG Năm học 2014 - 2015

Môn thi : Toán - Lớp 8

Câu I(6 điểm)

1,(4 điểm):

Tập xác đinh:

2

2

2

2

4 12 5 (2 1)(2 5)

13 2 20 ( 4)(5 2 )

21 2 8 (3 2 )(7 4 )

4 4 3 (2 1)(2 3)

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

    

    

    

    

1 5 3 7 ; ; ; ; 4 2 2 2 4 x x x x x      

a, 2 3 2 1 2 5 2 5 x P x x     

Ta có: , Để thì: => Ư(2) 1 Z  P Z  2 2 5 Z x   (2 5) x  

Ư(2)={±1;±2} => 2x-5 = -1x=2 (tm)

2x-5 = 1x=3 (tm)

2x-5 = -2x=3/2 (loại)

2x-5 = 2x=7/2 (loại)

Vậy để thì x={2;3} P Z 

2,(2 điểm): Tính đúng x = 2014

CâuII( 4 điểm):

1,(2 điểm):

( )(2 3 ) 7 7.1 ( 7).( 1) x y x y       2 2 2 5 3 7 x xy y   

7 20 2 3 1 13 x y x x y y             

1 4 2 3 7 5 x y x x y y             

ThuVienDeThi.com

7 20

2 3 1 13

x y x

x y y

            

1 4 2 3 7 5 x y x x y y             

Vậy phương trình có các cặp nghiệm: (20;13); (-4;-5); (-20;-13); (4;5).

2,(2 điểm):

2 2 2 2 ( 8) 36 ( 10 6 )( 10 6 ) x x x x x       

Để là số nguyên tố thì: 2 2 ( 8) 36 x  



2

2

2

( 10 6 ) 1

6 9 0

( 3) 0

3

x x

x x

x

x tm

  

  

 

 

Câu III(3 điểm):

1 1 1 ( ) 1 1 1 a a b b c c a b c a b c b c a c a b                 

(sử dụng bất đẳng thức côsi) 3 a b b c a c b a c b c a                         

3 2 2 2 9 A      

Vậy A = 9 khi a=b=c=1/3

Câu IV(6 điểm)

a,∆ AB’C’~∆ABC (T.H.2)

b, Tính theo tỉ số diện tích của tam giác => ' ' ' 1 AA' ' ' HA HB HC BB CC   

c, Áp dụng tính chất đường phân giác vào các tam giác: ABC; AIB; AIC

=> 1 AC BI AN CM AB AI IC AB IC IC NB MA AC BI AI IB   

d, Vẽ Cx vuông góc CC’

CM: góc BAD vuông, CD=AC, AD=2CC’

Ta có: BD BC CD  

ThuVienDeThi.com