Bô đê thi hoc sinh gioi Toan 8 lân 1( gôm 16 đê)

1

BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 LẦN 1( GỒM 16 ĐỀ)

ĐỀ SỐ 1 Bài 1: (2 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) 5x2 - 26x + 24 c) x2 + 6x + 5

b) d) x4 + 2015x2 + 2014x + 2015 1 2 3 4 3 8 1 2 3    x x x

Bài 2: (1,5 điểm)

a) Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:

(6 + 7)(2 – 3) – (4 + 1) x x x 7 3 4 x       

b) Tính giá trị biểu thức P = . Biết 2 – 2 2 = (x + y ≠ 0, ≠ 0). x y x y   x y x y y

c) Tìm số dư trong phép chia của biểu thức cho đa thức      2 4 6 8 2015 x x x x     

. 2 10 21 x x  

Bài 3 (1,25 điểm): Cho biểu thức 2 2 2 2 2 2 4xy 1 1 A : y 2 x y x y xy x             a) Tìm điều kiện của x, y để giá trị của A được xác định. b) Rút gọn A. c) Nếu x; y là các số thực làm cho A xác định và thoả mãn: 3x2 + y2 + 2x – 2y = 1, hãy tìm tất cả các giá trị nguyên dương của A? Bài 4 : (2 điểm) Giải các phương trình sau:

a) x3 - 2x2 - 5x + 6 = 0 c) 18 3

9 3 4 24 10

2 4 5

3

2 2 2          x x x x x x b) d, x2 – y2 + 2x – 4y – 10 = 0 với x,y nguyên dương. 5 3 3 5    x x

Bài 5 : (2,75 điểm) Cho hình vuông ABCD. Qua A vẽ hai đường thẳng vuông góc với nhau lần lượt cắt BC tại P và R, cắt CD tại Q và S.

a) Chứng minh AQR và APS là các tam giác cân.   b) QR cắt PS tại H; M, N là trung điểm của QR và PS. Chứng minh tứ giác AMHN là hình chữ nhật.

c) Chứng minh P là trực tâm SQR.  d) Chứng minh MN là đường trung trực của AC. e) Chứng minh bốn điểm M, B, N, D thẳng hàng. Bài 6 : (0,5 điểm)

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 13x2 + y2 + 4xy - 2y - 16x + 2015

b) Cho hai số a,b thỏa mãn điều điều kiện a + b = 1. Chứng minh a3 + b3+ ab 2

1

HƯỚNG DẪN CHẤM

BÀI NỘI DUNG THANG ĐIỂM a) 5x2 - 26x + 24 = 5x2 - 6x - 20x + 24 = x(5x - 6) - 4(5x - 6) = (5x - 6)(x - 4) 0,5 điểm

b) = = 1 2 3 4 3 8 1 2 3    x x x 3 2 2 3

1 1. 2 1 .3 1. 2 1 .3 2 1                      x x x

3 1 2 1        x

0,5 điểm

c) x2 + 6x + 5 = x2 + x + 5x + 5 = x(x + 1) + 5(x + 1) =   5 1   x x 0,5 điểm

Bài 1 (2 điểm)

d) x4 + 2015x2 + 2014x + 2015 = x4 + x3 + x2 – x3 – x2 – x + 2015x2 + 2015x +2015 = x2 (x2 + x + 1) – x(x2 + x + 1) + 2015(x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x2 – x + 2015)

0,5 điểm

Bài 2

(1,5 a) ( 6 + 7)(2 – 3) – (4 + 1) = 12x2 – 18x + 14x - 21 – 12x2 + 7x – x x x 7 3 4 x       

0,5 điểm

ThuVienDeThi.com

2

3x + = 7 4

77 4 

b) x2 – 2y2 = xy  x2 – xy – 2y2 = 0  (x + y)(x – 2y) = 0

Vì x + y ≠ 0 nên x – 2y = 0  x = 2y .Khi đó A = 2 1 2 3 3 y y y y y y    

0,5 điểm

điểm)

c)

        2 2 ( ) 2 4 6 8 2015 10 16 10 24 2015 P x x x x x x x x x            

Đặt , biểu thức P(x) được viết lại: 2 10 21 ( 3; 7) t x x t t        

2 ( ) 5 3 2015 2 2000 P x t t t t       

Do đó khi chia cho t ta có số dư là 2000 2 2 2000 t t  

0,5 điểm

a) Điều kiện: x y; y 0   0,25 điểm b) A = 2x (x+y) 0,5 điểm Bài 3

(1,25 điểm) c) Cần chỉ ra giá trị lớn nhất của A, từ đó tìm được tất cả các giá trị nguyên dương của A Từ (gt): 3x2 + y2 + 2x – 2y = 1 2x2 + 2xy + x2 – 2xy + y2 + 2(x – y) =1  2x(x + y) + (x – y)2 + 2(x – y) + 1 = 2 A + (x – y + 1)2 = 2   A = 2 – (x – y + 1)2 (do (x – y + 1) (với mọi x ; y) A 2.  2  0   

+ A = 2 khi  

x y 1 0

2x x y 2

x y;y 0

         



1 x 2 3 y 2

   

+ A = 1 khi Từ đó, chỉ cần chỉ ra được một cặp giá trị của x  

2 (x y 1) 1

2x x y 1

x y;y 0

          

và y, chẳng hạn:

2 1 x 2

2 3 y 2

   

   + Vậy A chỉ có thể có 2 giá trị nguyên dương là: A = 1; A = 2

0,25 điểm

0,25 điểm

a) x3 - 2x2 - 5x + 6 = 0 x3 - x2 - x2 + x - 6x + 6 = 0 (x - 1)(x2 - x - 6) = 0  

(x - 1)(x + 2)(x - 3) = 0 

  







 

 

3

2 1

x x

x

0,5 điểm

b) 5 3 3 5    x x 5 3 5 3     x x 0 5 3   x 3 5  x 0,5 điểm

Bài 4 (2 điểm)

c) ĐKXĐ: x ≠ -1; -4; -6; 3

       

    

     

       2

3 2 4 9 1 4 4 6 3 3 6

1 1 1 1 4 1 1 1 4 4 6 3 3 6

3 3 4 1 3 …