19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức

19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức

1

PHẦN 1 CÁC KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý

1/Định nghĩa 0 0 A B A B A B A B            2/Tính chất + A>B A B   + A>B và B >C C A   + A>B A+C >B + C  + A>B và C > D A+C > B + D  + A>B và C > 0 A.C > B.C  + A>B và C < 0 A.C < B.C  + 0 < A < B và 0 < C <D 0 < A.C < B.D  + A > B > 0 A > B  n n n  + A > B A > B với n lẻ  n n

+ > A > B với n chẵn A B  n n

+ m > n > 0 và A > 1 A > A  m n

+ m > n > 0 và 0 <A < 1 A < A  m n

+A < B và A.B > 0  B A

1 1 

3/Một số hằng bất đẳng thức

+ A 0 với A ( dấu = xảy ra khi A = 0 ) 2   + An 0 với A ( dấu = xảy ra khi A = 0 )   + với (dấu = xảy ra khi A = 0 ) 0  A A  + - < A = A A + ( dấu = xảy ra khi A.B > 0) A B A B    + ( dấu = xảy ra khi A.B < 0) B A B A   

PHẦN II CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Phương pháp 1 : Dùng định nghĩa

Kiến thức : Để chứng minh A > B. Ta lập hiệu A –B > 0 Lưu ý dùng hằng bất đẳng thức M 0 với M 2  Ví dụ 1  x, y, z chứng minh rằng : a) x + y + z xy+ yz + zx

2 2 2  b) x + y + z 2xy – 2xz + 2yz 2 2 2 

c) x + y + z +3 2 (x + y + z)

2 2 2  Giải:

ThuVienDeThi.com

19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức

2

a) Ta xét hiệu : x + y + z - xy – yz – zx = .2 .( x + y + z - xy – yz – 2 2 2

2 1 2 2 2

zx)

= đúng với mọi x;y;z 2 1  0 ) ( ) ( ) ( 2 2 2       z y z x y x R 

Vì (x-y)2 0 vớix ; y Dấu bằng xảy ra khi x=y  (x-z)2 0 vớix ; z Dấu bằng xảy ra khi x=z  (y-z)2 0 với z; y Dấu bằng xảy ra khi z=y  Vậy x + y + z xy+ yz + zx. Dấu bằng xảy ra khi x = y =z 2 2 2  b)Ta xét hiệu: x + y + z - ( 2xy – 2xz +2yz ) = x + y + z - 2xy +2xz –

2 2 2 2 2 2

2yz

= ( x – y + z) đúng với mọi x;y;z 2 0  R  Vậy x + y + z 2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;z 2 2 2  R  Dấu bằng xảy ra khi x+y=z c) Ta xét hiệu: x + y + z +3 – 2( x+ y +z ) = x - 2x + 1 + y -2y +1 + z -

2 2 2 2 2 2

2z +1

= (x-1) + (y-1) +(z-1) 0. Dấu(=)xảy ra khi x=y=z=1 2 2 2  Ví dụ 2: chứng minh rằng :

a) ; b) c) Hãy tổng quát bài

2 2 2

2 2          b a b a

2 2 2 2

3 3            c b a c b a

toán

Giải:

a) Ta xét hiệu

2 2 2

2 2          b a b a

= = =  

4 2 4 2 2 2 2 2 b ab a b a       ab b a b a 2 2 2 4 1 2 2 2 2       0 4 1 2  b a

Vậy . Dấu bằng xảy ra khi a=b

2 2 2

2 2          b a b a

b)Ta xét hiệu

= .Vậy

2 2 2 2

3 3            c b a c b a        0 9 1 2 2 2       a c c b b a

2 2 2 2

3 3            c b a c b a

Dấu bằng xảy ra khi a = b =c

c)Tổng quát

2 2 1 2 2 2 2 1 .... ....  

  

       

n

a a a n

a a a n n

Tóm lại các bước để chứng minh A B theo định nghĩa  Bước 1: Ta xét hiệu H = A - B Bước 2:Biến đổi H=(C+D) hoặc H=(C+D) +….+(E+F) 2 2 2

ThuVienDeThi.com

19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức

3

Bước 3:Kết luận A  B Ví dụ 1: Chứng minh m,n,p,q ta đều có : m + n + p + q +1 m(n+p+q+1) 2 2 2 2

Giải:

0 1 4 4 4 4

2 2 2 2 2 2 2

  

  

     

  

     

  

     

  

    m m q mq m p mp m n mn m

(luôn đúng) 0 1 2 2 2 2

2 2 2 2

                                 m q m p m n m

Dấu bằng xảy ra khi

   



  





 

 

 

 

0 1 2

0 2

0 2

0 2

m

q m

p m

n m



  



  













2 2

2

2

m

m q

m p

m n



  

  



1 2

q p n

m

Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi a, b, c ta luôn có : ) ( 4 4 4 c b a abc c b a      Giải: Ta có : , ) ( 4 4 4 c b a abc c b a      0 , ,   c b a

     

   

          0

0 ) 2 (

) 2 ( ) 2 (

0 2 2 2

2 2 2

0 2 2 2 2 2 2

0

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 4 4 4

2 2 2 4 4 4

            

   

           

   

        

      

      

ac ab ac bc bc ab a c c b b a

ab a a c b a

ab c a c c b ac b c b b a a c c b b a

ab c ac b bc a

c …