Bài tập Phân tích đa thức thành nhân tử

1

BÀI TẬP PHẤN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

I. TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ:

Định lí bổ sung:

+ Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ thì có dạng p/q trong đó p là ước của hệ số tự do,

q là ước dương của hệ số cao nhất

+ Nếu f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) có một nhân tử là x – 1

+ Nếu f(x) có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của

các hạng tử bậc lẻ thì f(x) có một nhân tử là x + 1

+ Nếu a là nghiệm nguyên của f(x) và f(1); f(- 1) khác 0 thì và đều là

f(1) a - 1

f(-1) a + 1

số nguyên. Để nhanh chóng loại trừ nghiệm là ước của hệ số tự do

Bài tâp ví dụ

 Bài tâp 1: Phân tích đa thức sau thành tich 3x2 – 8x + 4

*Cách 1: Tách hạng tử thứ 2

3x2 – 8x + 4 = 3x2 – 6x – 2x + 4 = 3x(x – 2) – 2(x – 2) = (x – 2)(3x – 2)

* Cách 2: Tách hạng tử thứ nhất:

3x2 – 8x + 4 = (4x2 – 8x + 4) - x2 = (2x – 2)2 – x2 = (2x – 2 + x)(2x – 2 – x)

= (x – 2)(3x – 2)

 Bài tâp 2: Phân tích đa thức sau thành tich x3 – x2 – 4

Ta nhân thấy nghiệm của f(x) nếu có, thì x = , chỉ có f(2) = 0 1; 2; 4  

nên x = 2 là nghiệm của f(x) nên f(x) có một nhân tử là x – 2. Do đó ta tách f(x)

thành các nhóm có xuất hiện một nhân tử là x – 2

* Cách 1:

x3 – x2 – 4 =       3 2 2 2 2 2 2 4 2 ( 2) 2( 2) x x x x x x x x x x           

=    2 2 2 x x x   

ThuVienDeThi.com

2

Cách 2:

   3 2 3 2 3 2 2 4 8 4 8 4 ( 2)( 2 4) ( 2)( 2) x x x x x x x x x x x                

=    2 2 2 2 4 ( 2) ( 2)( 2) x x x x x x x             

 Bài tâp 3: Phân tích f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – 5 thành tich

Nhận xét: không là nghiệm của f(x), như vậy f(x) không có nghiệm 1, 5 

nguyên. Nên f(x) nếu có nghiệm thì là nghiệm hữu tỉ

Ta nhận thấy x = là nghiệm của f(x) do đó f(x) có một nhân tử là 3x – 1.

1 3

Nên f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – 5 =

    3 2 2 3 2 2 3 6 2 15 5 3 6 2 15 5 x x x x x x x x x x           

=

2 2 (3 1) 2 (3 1) 5(3 1) (3 1)( 2 5) x x x x x x x x         

Vì 2 2 2 2 5 ( 2 1) 4 ( 1) 4 0 x x x x x          

với mọi x nên không phân tích được thành nhân tử nữa

 Bài tâp 4: Phân tích đa thức sau thành tich A = x3 + 5x2 + 8x + 4

Nhận xét: Tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các

hạng tử bậc lẻ nên đa thức A có một nhân tử là x + 1

A = x3 + 5x2 + 8x + 4 = (x3 + x2 ) + (4x2 + 4x) + (4x + 4)

= x2(x + 1) + 4x(x + 1) + 4(x + 1)

= (x + 1)(x2 + 4x + 4) = (x + 1)(x + 2)2

 Bài tâp 5: f(x) = x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + 2

Tổng các hệ số bằng 0 nên đa thức có một nhân tử là x – 1, chia f(x) cho (x – 1)

ta có:

f(x) = x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + 2 = (x – 1)(x4 - x3 + 2 x2 - 2 x - 2)

Vì x4 - x3 + 2 x2 - 2 x - 2 không có nghiệm nguyên cũng không có nghiệm hữu tỉ

nên không phân tích được nữa

ThuVienDeThi.com

3

 Bài tâp 6:

B = x4 + 1997x2 + 1996x + 1997 = (x4 + x2 + 1) + (1996x2 + 1996x + 1996)

B = (x2 + x + 1)(x2 - x + 1) + 1996(x2 + x + 1)

B = (x2 + x + 1)(x2 - x + 1 + 1996) = (x2 + x + 1)(x2 - x + 1997)

 Bài tâp 7:

C = x2 - x - 2001.2002 = x2 - x - 2001.(2001 + 1)

= x2 - x – 20012 - 2001 = (x2 – 20012) – (x + 2001) = (x + 2001)(x – 2002)

II. PHƯƠNG PHÁP THÊM , BỚT CÙNG MỘT HẠNG TỬ:

1. Thêm, bớt cùng một số hạng tử để xuất hiện hiệu hai bình phương:

 Bài tâp 8 :

f(x) = 4x4 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 - 36x2 = (2x2 + 9)2 – 36x2

= (2x2 + 9)2 – (6x)2 = (2x2 + 9 + 6x)(2x2 + 9 – 6x)

= (2x2 + 6x + 9 )(2x2 – 6x + 9)

 Bài tâp 9:

f(x) = x8 + 98x4 + 1 = (x8 + 2x4 + 1 ) + 96x4

= (x4 + 1)2 + 16x2(x4 + 1) + 64x4 - 16x2(x4 + 1) + 32x4

= (x4 + 1 + 8x2)2 – 16x2(x4 + 1 – 2x2) = (x4 + 8x2 + 1)2 - 16x2(x2 – 1)2

= (x4 + 8x2 + 1)2 - (4x3 – 4x )2

= (x4 + 4x3 + 8x2 – 4x + 1)(x4 - 4x3 + 8x2 + 4x + 1)

2. Thêm, bớt cùng một số hạng tử để xuất hiện nhân tử chung

 Bài tâp10 :

f(x) = x7 + x2 + 1 = (x7 – x) + (x2 + x + 1 ) = x(x6 – 1) + (x2 + x + 1 )

= x(x3 - 1)(x3 + 1) + (x2 + x + 1 ) = x(x – 1)(x2 + x + 1 ) (x3 + 1) + (x2 + x + 1)

= (x2 + x + 1)[x(x – 1)(x3 + 1) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x2 - x + 1)

 Bài tâp …