15 bài toán về chia hết & chia dư của số nguyên

1

15 BÀI TOÁN VỀ CHIA HẾT & CHIA DƯ CỦA SỐ NGUYÊN

I. Dạng 1: Chứng minh quan hệ chia hết

2. Bài tập có HD:

 Bài 1: chứng minh rằng

a) 251 – 1 chia hết cho 7

b) 270 + 370 chia hết cho 13

c) 1719 + 1917 chi hết cho 18

d) 3663 - 1 chia hết cho 7 nhưng không chia hết cho 37

e) 24n -1 chia hết cho 15 với n N

Giải: Áp dụng tính chất Nếu (A  B) C thì (An  Bn ) C  

a) 251 – 1 = (23)17 – 1; mà [(23)17 – 117] (23 – 1)  [(23)17 – 1] 7  

b) 270 + 370 = (22)35 + (32)35 = 435 + 935 mà (435 + 935) (4 + 9)  (270 + 370 ) 13  

c) 1719 + 1917 = (1719 + 1) + (1917 – 1)

mà (1719 + 119) (17 + 1) và (1917 – 117) (19 – 1)  

 [(1719 + 1) + (1917 – 1) ] 18 hay 1719 + 1917 18  

d) 3663 – 1 = 3663 – 163  (3663 – 1) (36 – 1) Vì (3663 – 1) 35  

 (3663 – 1) 7 

3663 – 1 = (3663 + 1) – 2 mà (3663 + 1) 37  (3663 – 1) chia cho 37 dư 2 

e) 2 4n – 1 = (24) n – 1n mà (24) n – 1n 24 – 1 [(24) n – 1n ] 15  

 Bài 2: chứng minh rằng

a) n5 – n chia hết cho 30 với n  N ;

b) n4 –10n2 + 9 chia hết cho 384 với mọi n lẻ n Z

c) 10n +18n -28 chia hết cho 27 với n N ;

Giải:

ThuVienDeThi.com

2

a) n5 – n = n(n4 – 1) = n(n – 1)(n + 1)(n2 + 1)

= (n – 1).n.(n + 1)(n2 + 1) chia hết cho 6 vì

(n - 1).n.(n+1) là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3 (*)

Mặt khác n5 – n = n(n2 - 1)(n2 + 1) = n(n2 – 1).(n2 – 4 + 5)

= n(n2 - 1).(n2 - 4 ) + 5n(n2 – 1) = (n – 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) + 5n(n2 - 1)

Vì (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 5

5n(n2 - 1) chia hết cho 5

Suy ra (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) + 5n(n2 - 1) chia hết cho 5 (**)

 Từ (*) và (**) suy ra đpcm

b) Đặt A = n4 -10n2 + 9 = (n4 -n2 ) - (9n2 - 9)

= (n2 - 1)(n2 - 9) = (n - 3)(n - 1)(n + 1)(n + 3)

Vì n lẻ nên đặt n = 2k + 1 (k Z) thì 

A = (2k - 2).2k.(2k + 2)(2k + 4) = 16(k - 1).k.(k + 1).(k + 2) A chia hết cho 16 (1) 

Và (k - 1).k.(k + 1).(k + 2) là tích của 4 số nguyên liên tiếp

 A có chứa bội của 2, 3, 4 nên A là bội của 24 hay A chia hết cho 24 (2)

 Từ (1) và (2) suy ra A chia hết cho 16. 24 = 384

c) 10 n +18n – 28 = ( 10 n - 9n - 1) + (27n - 27)

+ Ta có: (27n – 27) 27 (1) 

+ 10 n - 9n - 1 = [( + 1) - 9n - 1] = - 9n = 9( - n) 27 (2) 

n 9...9 

n 9...9 

n 1...1



vì 9 9 và - n 3 do - n là một số có tổng các chữ số chia hết cho 3  

n 1...1

 

n 1...1

 Từ (1) và (2) suy ra đpcm

 Bài 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên a thì

a) a3 - a chia hết cho 3

b) a7 - a chia hết cho 7

Giải

ThuVienDeThi.com

3

a) a3 – a = a(a2 – 1) = (a – 1) a (a + 1) là tích của ba số nguyên liên tiếp nên tồn tại

một số là bội của 3 nên (a - 1) a (a + 1) chia hết cho 3

b) ) a7 - a = a(a6 - 1) = a(a2 - 1)(a2 + a + 1)(a2 - a + 1)

Nếu a = 7k (k Z) thì a chia hết cho 7 

Nếu a = 7k + 1 (k Z) thì a2 - 1 = 49k2 + 14k chia hết cho 7 

Nếu a = 7k + 2 (k Z) thì a2 + a + 1 = 49k2 + 35k + 7 chia hết cho 7 

Nếu a = 7k + 3 (k Z) thì a2 - a + 1 = 49k2 + 35k + 7 chia hết cho 7 

Trong trường hợp nào củng có một thừa số chia hết cho 7

Vậy: a7 - a chia hết cho 7

 Bài 4: Chứng minh rằng

A = 13 + 23 + 33 + ...+ 1003 chia hết cho B = 1 + 2 + 3 + ... + 100

Giải

Ta có: B = (1 + 100) + (2 + 99) + ...+ (50 + 51) = 101. 50

Để chứng minh A chia hết cho B ta chứng minh A chia hết cho 50 và 101

Ta có: A = (13 + 1003) + (23 + 993) + ... +(503 + 513)

= (1 + 100)(12 + 100 + 1002) + (2 + 99)(22 + 2. 99 + 992) + ... + (50 + 51)(502 + 50.

51 + 512) = 101(12 + 100 + 1002 + 22 + 2. 99 + 992 + ... + 502 + 50. 51 + 512) chia

hết cho 101 (1)

Lại có: A = (13 + 993) + (23 + 983) + ... + (503 + 1003)

Mỗi số hạng trong ngoặc đều chia hết cho 50 nên A chia hết cho 50 (2)

Từ (1) và (2) suy ra A chia hết cho 101 và 50 nên A chi hết cho B

 Bài 5:

Cho a là số nguyên tố lớn hơn 3. CMR a2 – 1 chia hết cho 24

Giải:

(a2 – 1) = (a – 1)(a + 1) = [(a – 1).a.(a +1)]:a Ta thấy

Tử số là tích của 2 số nguyên liền trước và liền sau số nguyên tố a, do đó:

Cả 2 số đều chẵn --> mỗi số đều chia hết cho 2

ThuVienDeThi.com