12 bài toán chia đôi Tam giác - Tứ giác

1

12 BÀI TOÁN CHIA ĐÔI TAM GIÁC - TỨ GIÁC

I.- Chia đôi tam giác

1/ Chia đôi tam giác qua 1 điểm tại đỉnh của tam giác Bài toán này quá đơn giản, chỉ việc chia đôi cạnh đối diện rồi nối trung điểm đó với đỉnh.. Vì 2 tam giác tạo ra có chung chiều cao mà 2 đáy bằng nhau. Đây lại là bước rất cơ bản để thực hiện các tình huống chia đôi các hình tam giác, tứ giác phức tạp hơn.

2/ Chia đôi tam giác qua 1 điểm trên cạnh của tam giac

Bài toán 1a Cho hình tam giác ABC. Trên cạnh AC lấy

điểm N sao cho NA<NC. Tìm điểm M trên BC để đoạn thẳng NM chia hình tam giác ABC làm 2 phần có diện tích bằng nhau?

Giải Cách 1: Lấy K là trung điểm của AC. Nối BK.

Ta có SABK = SCBK và SABK = ½ SABC Từ K kẻ KM// NB cắt BC tại M. Trong hình thang NBMK cặp tam giác NOK và BOM có diện tích bằng nhau. (SNBK=SNBM ; SNOK=SNBK – SNBO ; SBOM= SNBM – SNBO ==> SNOK=SBOM ) Tứ giác ABMN có: SABMN = SABK + SBOM – SNOK

= SABK = S CBK = 1/2 SABC

 Vậy M chính là điểm cần tìm

Cách 2: Lấy K là trung điểm cảu AB; Kéo dài CA một đoạn A D cho CN =ND Nối DB rồi kẻ AM//DB (M Є BC). Nối NM  NM chia đôi ∆ABC. Chứng minh (tương tự cách 1) ∆1 bù ∆2 để S ∆NDM = Stứ gáic NMBA

ThuVienDeThi.com

2

Bài toán 1b Cho hình tam giác ABC. Trên cạnh AC lấy

điểm N sao cho NA> NC. Tìm điểm M trên BC để đoạn thẳng NM chia hình tam giác ABC làm 2 phần có diện tích bằng nhau? Giải: Trường hợp này điểm M trên canh AB. Cách làm tương tự cách 1 Bài 1a ( có thể coi như hình TG của bài này lật ngược TG bài 1a)

Bài toán 1c Trường hợp tam giác cho là tam giác vuông Điểm N nằm trên cạnh huyền hay cạnh góc vuông cũng làm tương tự hai bài trên

II. Chia đôi tứ gác

Định đề bổ sung: 1/ Hai đường chéo của hình thang cắt nhau tạo ra các cặp tam giác có diện tích bằng nhau - Căp TG có đáy là 2 đáy của hình thang và cùng chiều cao hình thang S ∆ADC = S ∆BDC; [1] S ∆DAB = S ∆CAB [2] - Cặp TG có đáy là 2 cạnh bên hình thang S ∆AID = S ∆BIC [3]

2/ Mọi tứ giác lồi đểu có thể chuyển thành 1 tam giác có cùng diện tích .

Bài toán 2 Cho tứ giác lồi ABCD, Kẻ BC //AC (đường cheo tứ giác); Hãy chứng minh rằng S ABCD = S∆AFD,

Chứng minh:

ThuVienDeThi.com

3

Vì Hình thang ABFC có BC và AF cắt nhau tạo ra 2 tam giác bằng nhau (theo [3] trên) đó là S∆ABE = S∆EFC.

1/ Chia đôi tứ giác lồi qua 1 điểm trùng với 1 trong 4 đỉnh tứ giác

Bài toán 3

Từ đỉnh A của tứ giác lồi ABCD hãy vẽ một đoạn thẳng chia tứ giác đó thành 2 phần có diện tích bằng nhau. Giải Bước 1: Nối AC Có 3 trường hợp xảy ra: -AC chia tứ giác làm 2 phần có diện tích bằng nhau (AC là ĐA) -SADC > SABC -SADC < SABC (Xét trường hợp này. Trường hợp trên tương tự) Bước 2: Vẽ đường thẳng đi qua D và song song với AC, cắt đường thẳng BC ở E. Bước 3: Lấy điểm M là trung điểm của BE. Bước 4: Nối AM.  AM là đoạn thẳng phải tìm

Chứng minh:

Đường chéo AE cắt DC tạo ra 2 tam giác có diện tích bằng nhau SIAD = SIEC SABE = S tứ giácABCD. AM chia đôi ∆ABE thì cũng chia

đôi tứ giác ABCD (ĐPCM)

ThuVienDeThi.com

4

Bài toán 4 (Bài toán cổ) Người cha để lại di chúc chia mảnh vườn hình tứ giác cho 2 người con: Mảnh

vườn chia đôi thành 2 phần diện tích bằng nhau, mỗi người con nhận 1 phần còn 1 giếng nước ở góc vườn thì chung nhau. Hỏi 2 người con phải chia như thế nào?

Giải : Cách chia ứng dụng như bài 3 trên

2/ Chia đôi tứ giác lồi qua 1 điểm nằm trên 1 trong 4 cạnh tứ giác

Bài toán 5 Từ điểm M nằm trên cạnh AD (MA>MD) của tứ giác lồi ABCD hãy vẽ một đoạn

thẳng chia tứ giác đó thành 2 phần có diện tích bằng nhau.

Giải: * Chuyển đổi tứ giác ABCD thành tam giác ABE có cùng diện tich và cạnh đáy AE ( tương tự bài 3 ) * Xác định MN chia đôi tam guác ABE tượng tự như Bài 1(phần trên). * Ta được MN là đoạn phải tìm.

*Trường hợp M nằm trên AB (MB <MA) Cũng làm tương tự trường hợp trên nhưng đổi tứ giác thành tam giác EAD.

ThuVienDeThi.com