Bài toán Tứ giác lớp 8

1

ĐỀ BÀI Bài 1. Cho tứ giác ABCD. Từ A kẻ đường thẳng song song với BC cắt BD tại E; từ B kẻ đường thẳng song song với AD cắt AC tại F. Chứng minh rằng: EF // DC.

HƯỚNG DẪN GIẢI.

BÀI NỘI DUNG Hình vẽ

O

F

E

D

C

B

A

Gọi O là giao điểm của AC và BD

Ta có: AE // BC (1) OE OA = OB OC

Và: BF // AD (2) OB OF = OD OA

Nhân (1) với (2) vế theo vế ta có: OE OF = OD OC EG // CD 

Bài 2. Cho tứ giác ABCD có diện tích S. Gọi K, L, M, N lần lượt là các điểm thuộc các cạnh AB, BC, CD, AD sao cho AK/ AB = BL / BC = CM/CD = DN/DA= x.

a) Xác định vị trí các điểm K,L,M,N sao cho tứ giác MNKL có diện tích mhỏ nhất. b) Tứ giác MNKL ở câu a là hình gì? cần thêm điều kiện gì thì tứ giác MNKL là hình chữ nhật.

HƯỚNG DẪN GIẢI.

BÀI NỘI DUNG Hình vẽ A

D

C

B

K

L

N

M

1

a) Gọi S1,,S2, S3, S4 lần lượt là diện tích tam giác AKN,CLM,DMN và BKL. Kẻ BB1AD; KK1AD ta có KK1//BB1 => KK1/BB1= AK/AB SANK/SABD= AN.KK1/AD.BB1= AN.AK/AD.AB= x(1-x)=> S1=x(1-x) SABD Tương tự S2= x(1-x) SDBC=> S1,+S2= x(1-x)( SABD+ SDBC)= x(1-x)S

ThuVienDeThi.com

2

Tương tự S3+S4= x(1-x)S

S1,+S2+ S3+ S4= x(1-x)2S SMNKL=S-( S1,+S2+ S3+ S4)= 2S x2-2Sx+S=2S(x-1/2)2+1/2S1/2S Vậy SMNKL đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1/2S khi x=1/2 khi đó M,N,K,L lần lượt là trung điểm các cạnh CD, DA, AB, BC b) Tứ giác MNKL ở câu a là hình bình hành Tứ giác MNKL ở câu a là hình chữ nhật khi BDAC

Bài 3. Cho töù giaùc ABCD coù AD = BC. Goïi M, N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB, CD. Tia MN caét tia AD ôû E vaø caét tia BC ôû F. Chứng ninh rằng: . A A AEM BFM 

HƯỚNG DẪN GIẢI.

BÀI NỘI DUNG 1 Hình vẽ

B

I

C

M

N

F

E

D

A

Gọi I là trung điểm của BD, ta có: BF // IN => A A BFN INM  AE // MI => A A AEM EMI  Xét MNI có:  IM = IN (2 đường trung bình) => MNI cân tại I  => A A EMI INM  => A A BFM AEM 

ThuVienDeThi.com