Đề thi olympic năm học 2014-2015 môn Toán 8 (thời gian làm bài 120 phút)

PHÒNG GD&ĐT THANH OAI Trường thcs thanh mai

đề thi Olympic Năm học: 2014-2015

Môn: Toán 8 (Thời gian làm bài 120 phút)

--------------------------

C©u1: ( 3 điểm)

Cho biÓu thøc: A =

x x

x x

x x x        



     3 2

2 1 : 1

5 1 2 1

1

a) Tìm điều kiện xác định của A, rồi rút gọn biểu thức A.

b) Tìm x nguyên để A nhận giá trị nguyên.

C©u2: ( 4 điểm)

a) Phân tích đa thức thành nhân tử:

(3x – 2)3 – (x – 3)3 – (2x + 1)3

b) áp dụng giải phương trình:

(3x – 2)3 – (x – 3)3 = (2x + 1)3

C©u3: ( 4 điểm)

a) Giải phương trình: = 2x + 1 1 2  x

b) Tìm số nguyên tố p sao cho: p+2 và p+10 cũng là số nguyên tố.

C©u4: (3 điểm)

Cho x, y là các số thực không âm thoã mãn:

x2 – 2xy + x - 2y 0. Tính giá trị lớn nhất của biẻu thức: 

M = x2 – 5y2 + 3x

C©u5: (6 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A( AC > AB), đường cao AH. Trên tia HC lấy HD = HA.

Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.

a) Chøng minh: AE = AB

b) Gọi M là trung điểm của BE. Tính góc AHM.

----------------------

ThuVienDeThi.com

Hướng dẫn chấm Olympic Môn: toán - lớp 8

năm học 2014 - 2015

C©u1: ( 3 điểm)

a. ( 2 điểm) +) §iÒu kiÖn:

 



 









 

2 1 0

1

x

x x

+) Quy đồng mẫu số và biến đổi được: A = x x 2 1

2 

b. ( 1 điểm) Ta có A = = -1 + . Suy ra A nhận giá trị nguyên khi và chỉ khi x x 2 1

2  x 2 1

1 

1 – 2x = x = 0 hoÆc x = 1. 1  

Đối chiếu ĐK ban đầu x = 0 và x = 1 không thoã mãn. Vậy không có giá trị x nào thoã mãn

yêu cầu bài toán.

C©u2: ( 4 điểm)

a. ( 2 điểm) Chøng minh: NÕu a + b + c = 0 th× a3 + b3 + c3 = 3abc

áp dụng ta có: (3x – 2)3 – (x – 3)3 – (2x + 1)3

= (3x – 2)3 + ( - x + 3)3 + ( - 2x - 1)3

= 3(3x – 2)( - x + 3)( - 2x – 1).

b. ( 2 điểm) Ta cã: (3x – 2)3 – (x – 3)3 = (2x + 1)3

(3x – 2)3 – (x – 3)3 - (2x + 1)3 = 0 

3(3x – 2)( - x + 3)( - 2x – 1) = 0 

x = hoÆc x = 3 hoÆc x = -  3 2

2 1

C©u3:( 4 điểm)

a. ( 2 điểm) +) Với x 0: Phương trình đã cho trở thành 

= 2x + 1 . Giải được x = 0 1 2  x

+) Với x 0: Phương trình đã cho trở thành 

= 2x + 1. Giải được x 1 2  x  2

1 

ThuVienDeThi.com

Suy ra nghiệm của phương trình đã cho là: 0 2

1    x

b. ( 2 điểm) Đáp số p=3. Xét p dưới dạng: p=3k, p=3k+1, p=3k+2

C©u4: (3 điểm) Ta cã x2 – 2xy + x - 2y =(x – 2y)(x + 1) 0 

vì x nên x + 1 > 0). ( 2y x   0 

Do đó M = x2 – 5y2 + 3x 4y2 – 5y2 + 6y = -y2 + 6y = -(y – 3)2 + 9 9.  

M = 9 khi và chỉ khi y = 3, và x2-5.32+3x=9 hay y=3, x=6.

Vậy giá trị lớn nhất của M là 9.

C©u5: (6 điểm)

a. (3 điểm) Ta có CDE ~ CAB ( hai tam giác vuông có góc C chung)  

~ (Vì AHD vuông cân) CAD CA CD CB CE            45 ˆ ˆ ˆ ˆ

1 1 1 1 D E B A CBE  ABE  

vuông cân AE = AB(đfcm). 

b. ( 3 điểm) Từ ABE vuông cân kết hợp với GT suy ra AM BE.Kéo dài AM cắt BC tại  

K. Ta cã: AHK ~ BMK ~ HKM (v×    AKB MK

HK BK AK      45      BAK MHK 

ABE vuông cân nên AM vừa lầ đường trung tuyến vừa là đường phân giác suy ra

)  45  BAK  45    AHM

A

C B H

E

D K

M

1

1

C A 1

1

ThuVienDeThi.com