Bài tập đội tuyển Toán 8 Bất đẳng thức

Bài tập đội tuyển: BẤT ĐẲNG THỨC

Bài tập 1. Cho a + b + c = 2 và ab + bc + ca = 1; chứng minh: 4 0 , , 3 a b c  

Bài tập 2. Cho a, b, c > 0. Chứng minh 1 1 1 1 1 1 3 3 3 2 2 2 a b c a b b c c a        

Bài tập 3. Cho 3 số a; b; c dương thoả mãn abc = 1

Chứng minh: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 a b c a ab b b bc c c ca a           

Bài tập 4. Cho x > y > 0, chứng minh 1 3 ( ) x x y y   

Bài tập 5. Chứng minh: a2014 > 2014(a – 1) với a > 0 Bài tập 6. Cho a + b + c = 3. Chứng minh a4 + b4 + c4 ≥ 3

Bài tập 7. a) Cho a, b > 0 thỏa mãn a + b = 1. Chứng minh: 1 1 25 ( )( ) 4 a b a b   

HD: Nhân phá ngoặc: VT = 1 1 16 15 a b a b ab ab ab ab b a ab b a        

Ta có: => VT 2 1 15 1 15 16 8; 2; 15 15 (1 ) 15( ) 4 2 4 a b ab ab a a a ab b a            25

4

b) Cho a, b > 0 thỏa mãn a + b = 1. Chứng minh: (1) 2 2 1 1 25 ( ) ( ) 2 a b b a    

HD: VT . Vậy (1)  Tương tự 7a  1 1 2( )( ) a b b a   1 1 25 ( )( ) 4 a b b a   

Bài tập 8. a) Cho a, b > 0 và a + b = 1; chứng minh 2 2 3 1 14 ab a b   

b) Cho a, b > 0 thảo mãn a + b ≤ 1 . Chứng minh 2 2 1 2 4 11 ab a b ab    

Bài tập 9. a) Cho a, b, c dương và a + b + c = 1; chứng minh 1 1 1 (1 )(1 )(1 ) 64 a b c    

b) Cho a; b; c > 0 thỏa mãn : a + b + c = 1. Chứng minh rằng: ( 1 1 1 1)( 1)( 1) 8 a b c    

Bài tập 10. Cho x, y, z không âm và . Chứng minh 1 x y z    1 1 1 10 x y z x y z      

Bài tập 11. a) Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 18126. Chứng minh 1 1 1 1 2014 a b c   

b) Cho x, y, z > 0 thỏa mãn: x2 + y2 + z2 3. Chứng minh:  1 1 1 3 1 1 1 2 xy yz zx      

Bài tập 12. Cho a, b, c > 0, chứng minh: 1 1 1 1 1 1 1 2 a b b c c a a b c              

Bài tập 13. a) Cho x, y là các số thực thỏa mãn: x + y = 2. Chứng minh: xy(x2 + y2) 2 

b) Cho x, y > 0 thỏa mãn: x + y = 2. Chứng minh:   2 2 2 2 2 x y x y  

ThuVienDeThi.com

Bài tập 14. a) Cho x, y dương và x2 + y2 = 52; chứng minh 2x + 3y 26 

b) Cho 4x - 3y = 7 ; chứng minh: 2x2 + 5y2 45 c) cho 2a − 3b = 7. chứng minh 3a2 + 5b2 ≥  725

47

Bài 15. Cho a, b, c > 0 thỏa mãn: . Chứng minh abc 8 1 1 1 2 1 1 1 a b c       

HD: GT ta có: . Tương tự và nhân từng vế 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 (1 )(1 ) b c bc a b c b c b c             

3 bđt ta có Đpcm

Bài tập 15. Cho a,b,c > 0 thỏa mãn . Chứng minh 3 5 2 2 2    c b a 1 1 1 1 a b c abc   

Bài tập 16. Cho a, b, c >0 chứng minh: 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 a b abc b c abc c a abc abc         

HD: Áp dụng: a3 + b3 ab(a + b) ta có: 

VT  1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ab a b abc bc b c abc ca c a abc ab bc ca a b c abc                    

Bài 13.

a) Chứng minh bất đẳng thức sau: (với x và y cùng dấu) 2  x

y y x

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = (với )

2 2

2 2 3 5 x y x y y x y x          

x 0, y 0  

--------------------------------HD----------------------------------

BẤT ĐẲNG THỨC

Bài tập 1. Cho a + b + c = 2 và ab + bc + ca = 1; chứng minh: 4 0 , , 3 a b c  

HD: GT ta có: a(b + c) + bc = 1 mà b + c = 2 − a => bc = 1 − a(2 − a) = (a − 1)2

Vì (b + c)2 ≥ 4bc nên (2 − a)2 ≥ 4(a − 1)2 => a(4 − 3a) ≥ 0 => 4 0 , , 3 a b c  

Tương tự với b và c.

Bài tập 2. Cho a, b, c > 0. Chứng minh 1 1 1 1 1 1 3 3 3 2 2 2 a b c a b b c c a        

HD: Dễ dàng CM được bdt: (*) 1 1 1 9 x y z x y z     

Đặt A = 1 1 1 2 2 2 a b b c c a     

Áp dụng (*) ta có: 9 9 1 1 1 2a b a a b a a b        9 9 1 1 1 2b c b b c b b c       

ThuVienDeThi.com