Toán 10 - Tích vô hướng

TÍCH VÔ HƯỚNG Câu 1:Cho có diện tích 12. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm M, N

sao cho: và BN cắt CM tại D. a. Tính diện tích tam giác BMC, ABN và AMN theo . b. Tính tỉ số diện tích của hai tam giác ACD và BCD; ABD và BCD. c. Suy ra diện tích của tam giác BCD theo . GIẢI: a. Ta có:

tương tự ta cũng có:

Mặt khác:

b. Vẽ hai đường cao AK và BL của hai tam giác ACD và BCD thì AK//BL

Suy ra:

Do đó:

Tương tự ta cũng có: . c. Ta có:

Câu 2:Cho , biết AB = 2, BC = 3, CA = 4., đường cao AD. Tính độ dài đoạn CD. GIẢI: Ta có:

Trong , ta có:

Câu 3:Cho , các trung tuyến và hợp với nhau một góc . Tính độ dài các cạnh của . GIẢI: Vì hợp với nhau một góc , do đó ta cần xét hai trường hợp

là và . Trường hợp 1: Nếu . Trong , ta có:

ThuVienDeThi.com

Trong , ta có:

. Trong , ta có:

Trường hợp 2: tương tự.

Câu 4:Cho vuông tại A, AB = 3, AC = 4. Gọi M là trung điểm AC. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp . GIẢI: Áp dụng định lý hàm số sin trong , ta có:

. Trong , ta có:

.

Trong , Thay (2), (3) vào (1), ta được:

Câu 5:Cho cân tại A. Đường cao BH = a, . a. Tính các cạnh và đường cao còn lại. b. Tính bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp . GIẢI: a. Trong , ta được:

. Trong , ta được:

. b. Ta có:

ThuVienDeThi.com

Câu 6:Cho có AB = 2, AC = 3, BC = 4. Tính: a. Diện tích S của tam giác. b. Các đường cao . c. Các bán kính R, r. GIẢI: a. Ta có:

.

do đó: . b. Ta có:

. c. Ta có:

.

Câu 7:Cho vuông tại A, và đường cao AH = 6. Tính độ dài các đọn HB, HC, AB, AC. GIẢI: Hai và đồng dạng, do đó:

. Trong , ta có:

Câu 8:Cho có AB = 3, AC = 4 và diện tích S = . Tính BC. GIẢI:

Ta có:

* Với , ta được * Với , ta được

ThuVienDeThi.com

Câu 9:Cho có AB = 5, AC = 6, BC = 7. Gọi trung điểm của AC là M. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp . GIẢI: Áp dụng định lý hàm số sin trong , ta có:

(1)

Trong , ta có:

(2)

.

Thay (2), (3) vào (1), ta được:

Câu 10:Cho , biết b=7, c=5, . Tính đường cao và bán kính đường tròn ngoại tiếp R của tam giác. GIẢI:

Ta có: (1) trong đó b, c đã biết và:

(2)

. (3)

Thay (2), (3) vào (1) ta được:

Ta có: . Câu 11:Cho , biết , b=2, . Tính các góc A, B, C và đường cao của tam giác. GIẢI: Trong , ta có:

Mặt khác, trong , ta có: Ta có:

ThuVienDeThi.com

Câu 12:Cho , biết A(1, 2), B (-1, 1), C(5, -1).

a. Tính b. Tính cos và sin góc A. c. Tìm tọa độ chân đường cao của . d Tìm tọa độ trực tâm H của . e. Tìm tọa độ trọng tâm G của . f. Tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp , từ đó chứng minh rằng I, H, G thẳng hàng. GIẢI:

a. Ta có: b. Ta có:

c. (x, y) là chân đường cao từ đỉnh A của .

Vậy, ta được . d. H(x, y) là trực tâm H của .

Vậy, ta được H(2, 5).

e. Tọa độ trọng tâm . f. I(x, y) là tâm I của đường tròn ngoại tiếp .

Vậy, ta được .

Nhận xét rằng: và I, H, G thẳng hàng.

ThuVienDeThi.com

Câu 13:Cho hình bình hành ABCD, tâm O, M là điểm tùy ý. a. Chứng minh rằng: b. Giả sử M di động trên đường tròn (d), xác định vị trí của M để:

đạt giá trị nhỏ nhất. GIẢI:

a. Ta có:

(1)

Ta xét:

(2) Thay (2) vào (1), ta được:

, đpcm. b. Từ kết quả câu a suy ra đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi nhỏ nhất. M là hình chiếu vuông góc của D lên (d) Câu 14:Cho hình bình hành ABCD, biết rằng với mọi điểm M luôn có:

(1) Chứng minh rằng ABCD là hình chữ nhật. GIẢI: Gọi O là giao điểm của hai đường chéo, ta được:

(2) Bình phương 2 vế của (2) ta được:

ABCD là hình chữ nhật. Câu 15:Cho vuông, có cạnh huyền , M là trung điểm BC. Biết

rằng: , tính độ dài AB và AC. GIẢI: Từ giả thiết, ta được:

(1)

Mặt khác theo Pitago, ta được: (2)

Giải hệ phương trình tạo bởi (1), (2), ta được:

ThuVienDeThi.com