Toán 10 - Phương pháp giải hệ đối xứng loại II và một số bài tập mẫu

Phương pháp giải hệ đối xứng loại II và một số bài tập mẫu.

Giáo viên: Phạm Thị Cảnh - 1 -

( Phần dùng lượng giác với hàm số phía sau chưa phải làm nha. Kiến thức đó lên

11, 12 mới dùng được)

2. Hệ đối xứng loại (kiểu) II:

a. Định nghĩa:

Là hệ phương trình có dạng tổng quát (đổi vị trí x và y cho nhau thì ìïïíïïî

f(x,y) = 0 f(y, x) = 0

phương trình này trở thành phương trình kia)

b. Phương pháp giải chung:

Trừ hai phương trình cho nhau, đưa về phương trình tích, giải x theo y (hay ngược

lại) rồi thế vào một trong hai phương trình của hệ.

c. Chú ý: Ngoài phương pháp chung ta có thể sử dụng các phương pháp khác như:

- Phương pháp đánh giá.

- Phương pháp đồ thị.

- Phương pháp điều kiện cần và đủ.

d. Ví dụ:

Ví dụ 11: Giải hệ phương trình (11)

2 2

2 2 2x 3x y -2 (*)

2y 3y x -2 (**)

ìï - = ïïíï - = ïïî

GIẢI

Lấy (*) trừ (**) vế với vế ta được:

2 2 3x 3y (3x 3y) 0 (x y)(x y) (x y) 0 - - - = Û - + - - =

x y 0 x y (x y)(x y 1) 0 x y 1 0 x 1 y

é é - = = ê ê Û - + - = Û Û ê ê + - = = - ê ê ë ë

Với x= y thay vào (*) ta có :

2 2 2 x 1 x y 1 2x 3x x 2 x 3x 2 0 x 2 x y 2

é é = = = ê ê - = - Û - - = Û Û ê ê = = = ê ê ë ë

Với x=1- y thay vào (*) ta có :

(vô nghiệm) 2 2 2 2y 3y (1 y) 2 y y 1 0 - = - - Û - + =

Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm (1; 1) và (2; 2).

* Các trường hợp khác:

i) Có những hệ phương trình sau khi đưa ra dạng tích không biểu diễn được x theo y

mà phải sử dụng cách đánh giá.

ThuVienDeThi.com

Phương pháp giải hệ đối xứng loại II và một số bài tập mẫu.

Giáo viên: Phạm Thị Cảnh - 2 -

Ví dụ 12: Giải hệ phương trình

3

3 x 3x 8y(*) (12) y 3y 8x (**)

ìï = + ïïíï = + ïïî

GIẢI

Lấy (*) trừ (**) vế với vế ta được:

3 3 2 2 x y 5x 5y (x y)(x y xy) 5(x y) 0 - = - + Û - + + + - =

2 2 2 2 1 3 (x y)(x y xy 5) 0 (x y)[(x y) y 5] 0(* * *) 2 4 Û - + + + = Û - + + + =

Do với nên (***) thay vào (*) ta 2 2 1 3 (x y) y 5 0 2 4 + + + > x,y " x y 0 x y Û - = Û =

được: 3 3

x 0 x y 0

x 3x 8x x 11x 0 x 11 x y 11

x 11 x y 11

é é = = = ê ê ê ê = + Û - = Û = Û = = ê ê ê ê ê ê = - = = - ë ë

Vậy hệ (12) có 3 nghiệm (0;0) ; ( ; ) ; (- ; - ) 11 11 11 11

ii) Có những hệ phương trình sau khi đưa ra dạng tích không biểu diễn được x theo y

mà cũng không sử dụng được cách đánh giá.

Ví dụ 13. Giải hệ phương trình

3

3 x 2x y(*) (13) y 2y x (**)

ìï = + ïïíï = + ïïî

GIẢI

Nhận xét: Nếu dùng cách giải thông thường trừ (*) cho (**) vế với vế ta được:

2 2

2 2 x y 0 (x y)(x xy y 1) 0 x xy y 1 0(* * *)

é - = ê - + + - = Û ê + + - = êë

Đối với trường hợp (***) nếu kết hợp với 1 trong 2 phương trình của hệ thì rất phức

tạp. Ta có thể giải theo cách sau:

Trừ và cộng (*) và (**) vế với vế ta được:

2 2

2 2 (x y)(x xy y 1) 0

(x y)(x xy y 3) 0

ìï - + + - = ïïíï + - + - = ïïî

2 2

2 2 2 2 2 2 x y 0 x y 0 x y 0 x xy y 1 0

x y 0 x xy y 3 0 x xy y 1 0 x xy y 3 0

ì ì ì ì ï - = + = ï ï - = + + - = ï ï ï ï ï ï Û Ú Ú Ú í í í í ï ï ï ï + = - + - = + + - = - + - = ï ï ï ï î î î ïî

TH1: x y 0 x 0

x y 0 y 0

ì ì - = = ï ï ï ï Û í í ï ï + = = ï ï î î

ThuVienDeThi.com