Toán 10 - Giá trị lượng giác của một cung

GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG

I. Gía trị lượng giác của cung A. Lý thuyết và ví dụ. 1. Định nghĩa.

Trên đường tròn lượng giác cho cung

có số đo = (còn viết = ) AM

Ð

AM

Ð

 AM

Ð

 Tung độ của điểm M gọi là sin y OK  của và kí hiệu là  sin

sin . OK  Hoành độ của điểm gọi là x OH  M côsin của và kí hiệu là  cos . cos OH 

Nếu , tỉ số gọi là tang của và kí hiệu là (người ta còn dùng cos 0  sin cos



  tan

kí hiệu tg ) 

sin tan . cos

   

Nếu , tỉ số gọi là côtang của và kí hiệu là (người ta còn sin 0  cos

sin

   cot

dùng kí hiệu cotg ) 

cos cot . sin

   

Các giá trị được gọi là các gía trị lượng giác của cung . sin ,cos ,tan ,cot      Ta cũng gọi trục tung là trục sin, còn trục hoành là trục côsin. CHÚ Ý 1. Các định nghĩa trên cũng áp dụng cho các góc lượng giác. 2. Nếu thì các giá trị lượng giác của góc chính là các giá trị 0 0 0 180     lượng giác của góc đó đã được học ở chương II, Hình học lớp 10.

Ví dụ 1: Tính ;sin ; . 0 0 3 cos360 ;sin 90 ;cos ;cos3 2

    4

  tan 4

 

Giải: (vẽ hình) Cách 1: - Điểm cuối của cung là A . 0 360 0 cos360 1   - Điểm cuối của cung-90 là B . 0 0 sin 90 1   

B



K M

H O

' B

A ' A

x

y

ThuVienDeThi.com

- Điểm cuối của cung là C . 3 2

  3 cos 0 2

          - Điểm cuối cùng của cung là D 3   cos 3 1.   

- Điểm cuối cùng của cung là E 4

 

2 2 2 2 sin ;cos tan : 1. 4 2 4 2 4 2 2                                               2. Hệ quả.

1) và xác định với mọi Hơn nữa, ta có sin cos . A        

sin 2 sin , ;

cos 2 cos , ;

tan 2 tan ,cos 0;

cot 2 cot ,sin 0.

k k

k k

k

k

  

  

  

  

  

  

  

  

A

A

Ví dụ 1:    

sin 4 sin

cos 6 cos

  

  

 

 

2) Vì nên ta có: 1 1; 1 1 OK OH    

1 sin 1 1 cos 1 

     3) Với mọi mà đều tồn tại và sao cho và m A 1 1 m     sin m 

cos . m  Ví dụ 2: Có tồn tại hay không để 

a) 3 sin 4 

b) 5 cos 2   

Giải:

a) Vì tồn tại   3 1;1 4   

b) không tồn tại   5 1;1 2    

4) xác định với mọi tan  . 2 k k      A

ThuVienDeThi.com

Thật vậy, không xác định khi và chỉ khi tức là điểm cuối tan cos 0  M của cung.

5) xác định với mọi cot ( ). k k    A 6) Dấu của các giá trị lượng giác của góc phụ thuộc vào vị trí điểm cuối của  cung AM = trên đường tròn lượng giác (vẽ hình 49/SGK/142) 

Bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác

Góc phần tư

Giá trị lượng giác

I II III IV

cos + - - + sin + + - - tan + - + - cot + - + -

Ví dụ 3: Cho < < .Xác định dấu của các giá trị lượng giác sau:   3

2



a) sin 2         

b) cos 2          c)   tan   

d) 3 cot 2

        

Giải: Với < < ta xác định điểm cuối cùng của các cung:   3

2



thuộc các cung phần tư nào, từ đó xác định dấu nhờ 3 ; ; ; 2 2 2           

bảng xác định dấu.

a) 3 sin 0 2 2 2 2                        

b) 3 3 2 cos 0 2 2 2 2                        

c)   3 0 tan 0 2 2                 

ThuVienDeThi.com