Toán 10 - Một số công thức lượng giác

1

MỘT SỐ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC  I/ Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác Tính chất:

1 sinα 1, α

1 cosα 1, α

• −≤ ≤ ∀

• −≤ ≤ ∀ sin(α 2π) sinα,

cos(α 2π) cosα,

k k

k k

• + = ∈

• + = ∈

ℤ

ℤ tan(α π) tanα,

cot(α π) cotα,

k k

k k

• + = ∈

• + = ∈

ℤ

ℤ

Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt:

O

A

y

x

Trục tang

M

H

K T

S B Trục cotang

Trục sin

Trục cosin α

M( ; )

sinα

cosα

π tanα α π, 2

cotα (α π, )

x y

OK y

OH x

y AT k k x x BS k k y

• = =

• = =

  • = = ≠ + ∈    

• = = ≠ ∈

ℤ

ℤ

ThuVienDeThi.com

2

Góc

0 π 6

π 4

π 3

π 2

2π

3

3π

4

5π

6

π 3π

2

2π

o 0 o 30 o 45 o 60 o 90 o 120 o 135 o 150 o 180 o 270 o 360

sin 0 1 2 2 2

3 2 1 3 2 2 2 1 2 0 1 − 0

cos 1 3 2

2 2

1 2 0 1 2 − 2 2 − 3 2 − 1 − 0 1

tan 0 1

3 1 3 3 − 1 −

1

3 − 0 0

cot 3 1

1

3 0 1

3 − 1 − 3 − 0

II/ Giá trị lượng giác của các góc (cung) có liên quan đặc biệt Hai góc đối nhau: α và ( ) −α Hai góc bù nhau: α và ( ) − π α sin( ) sin cos( ) cos

α α

α α

• − = −

• − =

tan( ) tan cot( ) cot

α α

α α

• − = −

• − = −

sin(π ) sin cos(π ) cos

α α

α α

• − =

• − = −

tan(π ) tan cot(π ) cot

α α

α α

• − = −

• − = − III/ Các hệ thức cơ bản

2 2 sin α cos α 1 + = sinα π tanα , (α π) cosα 2 k = ≠ + cosα cotα ,(α π) sinα k = ≠

π tanα.cotα = 1, α 2 k   ≠    

2 2 1 π 1 tan α, α π cos α 2 k   = + ≠ +    

2 2 1 1 cot α,(α π) sin α k = + ≠

Hai góc hơn kém nhau π : α và ( ) + π α sin( π) sin cos( π) cos

α α

α α • + = − • + = −

tan( π) tan cot( π) cot

α α

α α • + = • + =

Hai góc hơn kém nhau π

2 : α và   +    

π 2 α

π sin cos 2

π cos sin 2

α α

α α

  • + =    

  • + = −    

π tan cot 2

π cot tan 2

α α

α α

  • + = −    

  • + = −    

Hai góc phụ nhau: α và   −    

π 2 α

π sin cos 2

π cos sin 2

α α

α α

  • − =    

  • − =    

π tan cot 2

π cot tan 2

α α

α α

  • − =    

  • − =    

Cách nhớ: sin bù, cos đối,

phụ chéo; tan , cot khác π

!!!

ThuVienDeThi.com

3

VI/ Công thức cộng

sin(α β) sinα.cosβ cosα.sinβ + = +

sin(α β) sinα.cosβ cosα.sinβ − = −

cos(α β) cosα.cosβ sinα.sinβ + = −

cos(α β) cosα.cosβ sinα.sinβ − = +

tanα tanβ tan(α β) 1 tanα.tanβ

+ + = −

tanα tanβ tan(α β) 1 tanα.tanβ

− − = +

cotα.cotβ 1 cot(α β) cotα cotβ

− + = +

cotα.cotβ 1 cot(α β) cotα cotβ

+ − = − −

V/ Công thức nhân đôi

2

2 2

2

1 2sin α

cos2α cos α sin α

2cos α 1

−

= −

−

sin2α 2sinα.cosα =

2 2tanα tan2α 1 tan α = −

VI/ Công thức nhân ba

3 sin3α 3sinα 4sin α = − 3 cos3α 4cos α 3cosα = −

3

2 3tanα tan α tan3α 1 3tan α

− = −

VII/ Công thức hạ bậc

1 sinα.cosα sin2α 2 = 2 1 cos2α sin α 2 − = 2 1 cos2α cos α 2 + =

2 1 cos2α tan α 1 cos2α − = + 3 3.sinα sin3α sin α 4

− = 3 3.cosα cos3α cos α 4

+ =

VIII/ Công thức tính sinα, cosα, tanα theo t tan α = 2

2 2t sinα 1 t = +

2

2 1 t cosα 1 t − = + 2 2t tanα 1 t = −

2 1 t cotα 2t

− =

IX/ Công thức biến đổi TÍCH thành TỔNG

[ ] 1 cosα.cosβ cos(α β) cos(α β) 2 = + + − [ ] 1 sinα.cosβ sin(α β) sin(α β) 2 = + + −

[ ] 1 sinα.sinβ cos(α β) cos(α β) 2 = − + − − [ ] 1 cosα.sinβ sin(α β) sin(α β) 2 = + − −

X/ Công thức biến đổi TỔNG thành TÍCH

cos cos 2.cos .cos 2 2 x y x y x y + − + = sin sin 2.sin .cos 2 2 x y x y x y + − + =

cos cos 2.sin .sin 2 2 x y x y x y + − − = − sin sin 2.cos .sin 2 2 x y x y x y + − − =

sin( ) tan tan cos .cos

x y x y x y + + = sin( ) cot cot sin .sin

x y x y x y + + =

sin( ) tan tan cos .cos

x y x y x y − − = sin( ) cot cot sin .sin

x y x y x y − − = −

ThuVienDeThi.com