Toán 10 - Bất đằng thức cosi

3

A. Lý thuyết

1. Bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm:

Cho a1, a2  0 thì . (1) 2 1 2 1 a a 2

a a  

Chứng minh. Ta có

(1)  0 a a 2 a a 2 1 2 1   

 . (2)   0 a a

2

2 1  

Do (2) đúng nên (1) luôn đúng.

Dấu “ = ” của (1) xảy ra  a1 = a2 .

2. Bất đẳng thức Cô-si cho ba số không âm:

Cho a1 , a2 , a3  0 thì . 3

3 2 1 3 2 1 a a a 3

a a a   

Chứng minh. áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm, ta có:

, (3) 2 1 2 1 a a 2 a a  

, (4) 3

3 2 1 3 3

3 2 1 3 a a a a 2 a a a a  

. (5)  

4 3 3 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 4 4 a a a a a a a a a a a a a a a   

Cộng từng vÕ của (3), (4), (5), ta được a1+ a2 + a3 3

3 2 1 a a a 3 

 . (đpcm) 3

3 2 1 3 2 1 a a a 3

a a a   

Đẳng thức xảy ra  (3), (4), (5) đồng thời xảy ra đẳng thức  a1= a2 = a3.

3. Bất đẳng thức Cô-si cho bốn số không âm:

Cho a1, a2, a3, a4  0 thì . 4

4 3 2 1 4 3 2 1 a a a a 4

a a a a    

ThuVienDeThi.com

4

Chứng minh. áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm, ta có:

a1 + a2 , 2 1a a 2 

(5)

a3 + a4 , (6) 4 3a a 2 

2 + . (7) 2 1a a ( ) a a 4 3  4

4 3 2 1 a a a a 4

Cộng từng vÕ của (5), (6), (7), ta được: . 4

4 3 2 1 4 3 2 1 a a a a 4

a a a a    

Đẳng thức xảy ra  (5), (6), (7) đồng thời xảy ra đẳng thức  a1 = a2 = a3 = a4.

Tổng quát : Cho a1, a2,…,an  0 , ta luôn có  . n

a ... a a n 2 1    n

n 2 1 a ... a a

(*) Dấu “=” của (*) xảy ra  a1 = a2 = …= an .

Chú ý: Trong sách giáo khoa Đại số 10 thì bất đẳng thức Cô-si được phát biểu cho

hai hoặc ba số dương, nghĩa là nếu ta áp dụng bất đẳng thức Cô-si với nhiều hơn

ba số thì ta cần phải chứng minh. Bạn đọc đã biết nếu chỉ áp dụng bất đẳng thức

Cô-si cho hai hoặc ba số thì rất khó khai thác hết cái hay và các ứng dụng rộng của

nó. Nếu áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho trường hợp hai hoặc ba số mà chứng

minh được tương đối ngắn gọn thì ta trình bày cách đó, còn nếu không ta sẽ áp

dụng luôn.

B.Bài tập

Ví dụ 1 . Cho tổng S = a + ( a > 0 ). 3 a

1

+) Ta sẽ biến đổi tổng S thành tổng S1 có tích không đổi:

S = . 3 3 a

1 3 a 3 a 3 a a

1 a     

Tổng S1 = có tích . 3 a

1 3 a 3 a 3 a    27

1 a

1 . 3 a . 3 a . 3 a

3 

ThuVienDeThi.com

5

+) Ta sẽ biến đổi tổng S thành tổng S2 có tích là : 4) a 2 (

1

S = . 3 3 3 a 2

1 a 2

1 2 a 2 a a

1 a     

Tổng S2 = có tích là . 3 3 a 2

1 a 2

1 2 a 2 a    3 3 4 1 1 1 . . . 2 2 2 2 (2 ) a a

a a a 

Ví dụ 2. Cho tích P = sin4x cos2x .

+) Ta sẽ biến đổi tích P thành tích P1 có tổng không đổi :

P = sin4x. cos2x = 4 . x cos . 2

x sin . 2

x sin 2 2 2

Tích P1= có tổng x cos . 2

x sin . 2

x sin 2 2 2

= 1. x cos x sin x cos 2

x sin 2

x sin 2 2 2 2 2

   

+) Ta sẽ biến đổi tích P thành tích P2 có tổng là 1 + cos2x .

P = sin4x. cos2x .

Ta có .

2 2

2 sin sin . .2cos 2 2 2 P x x x 

Tích P2 = có tổng x cos 2. 2

x sin . 2

x sin 2 2 2

. x cos 1 x cos 2 x sin x cos 2 2

x sin 2

x sin 2 2 2 2 2 2

     

ThuVienDeThi.com

6

Các Bất Đẳng Thức đại số

Bài 1

Cho hai số không âm a và b thoả mãn điều kiện a + b = 5 . Chứng minh:

1) ab ; 2) a2b ; 3) a2 b3 . 4 25  27 500  108 

Giải

1) áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm, ta có:

ab 2

b a  

  ab . ab 2 5  4 25 

Dấu “=” xảy ra  . 2 5 b a 5 b a

b a      

 



2) áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số không âm, ta có:

   a2b . 3 b 2 a 2 a 3

b 2 a 2 a

  

3

2

4

b a 3

b a  

4

b a 3 5 2 3

      

27 500 

Dấu “=” xảy ra  .

 

 





  

 

 



3 5 b

3 10 a

5 b a

b 2 a

3) áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho năm số không âm, ta có:

 5

3 b . 3 b . 3 b . 2 a . 2 a 5

3 b 3 b 3 b 2 a 2 a

     2 3 5 5 108 a b a b  

ThuVienDeThi.com