Toán 10 - Bất đẳng thức

Bất đẳng thức

Trang 30

I. BẤT ĐẲNG THỨC

1. Tính chất

Điều kiện Nội dung a < b  a + c < b + c (1) c > 0 a < b  ac < bc (2a) c < 0 a < b  ac > bc (2b) a < b và c < d  a + c < b + d (3) a > 0, c > 0 a < b và c < d  ac < bd (4)

n nguyên dương a < b  a2n+1 < b2n+1 (5a) 0 < a < b  a2n < b2n (5b)

a > 0 a < b  a b  (6a)

a < b  3 3 a b  (6b)

2. Một số bất đẳng thức thông dụng

a) . . a a 2 0,   a b ab 2 2 2   b) Bất đẳng thức Cô–si:

+ Với a, b  0, ta có: . Dấu "=" xảy ra  a = b. a b ab 2  

+ Với a, b, c  0, ta có: . Dấu "=" xảy ra  a = b = c. a b c abc 3 3   

Hệ quả: – Nếu x, y > 0 có S = x + y không đổi thì P = xy lớn nhất  x = y.

– Nếu x, y > 0 có P = x y không đổi thì S = x + y nhỏ nhất  x = y. c) Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối

Điều kiện Nội dung x x x x x 0, ,   

a > 0

x a a x a    

x a x a x a    

a b a b a b     

d) Bất đẳng thức về các cạnh của tam giác

Với a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác, ta có:

+ a, b, c > 0. + ; ; . a b c a b     b c a b c     c a b c a     e) Bất đẳng thức Bu–nhia–cốp–xki

Với a, b, x, y  R, ta có: . Dấu "=" xảy ra  ay = bx. ax by a b x y 2 2 2 2 2 ( ) ( )( )    

ThuVienDeThi.com

Bất đẳng thức

Trang 31

VẤN ĐỀ 1: Chứng minh BĐT dựa vào định nghia và tính chất cơ bản  Để chứng minh một BĐT ta có thể sử dụng các cách sau:

– Biến đổi BĐT cần chứng minh tương đương với một BĐT đã biết. – Sử dụng một BĐT đã biết, biến đổi để dẫn đến BĐT cần chứng minh.  Một số BĐT thường dùng:

+ + + với A, B  0. + A2 0  A B 2 2 0   A B . 0  A B AB 2 2 2   Chú ý:

– Trong quá trình biến đổi, ta thường chú ý đến các hằng đẳng thức. – Khi chứng minh BĐT ta thường tìm điều kiện để dấu đẳng thức xảy ra. Khi đó ta có thể tìm GTLN, GTNN của biểu thức.

Bài 1. Cho a, b, c, d, e  R. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) b) a b c ab bc ca 2 2 2      a b ab a b 2 2 1    

c) d) a b c a b c 2 2 2 3 2( )       a b c ab bc ca 2 2 2 2( )     

e) f) a b c a ab a c 4 4 2 2 1 2 ( 1)      a b c ab ac bc 2

2 2 2 4     

g) h) a b b c c a abc 2 2 2 2 2 2 (1 ) (1 ) (1 ) 6       a b c d e a b c d e 2 2 2 2 2 ( )       

i) với a, b, c > 0 a b c ab bc ca

1 1 1 1 1 1     

k) với a, b, c  0 a b c ab bc ca     

HD: a)  b)  a b b c c a 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 0       a b a b 2 2 2 ( ) ( 1) ( 1) 0      

c)  d)  a b c 2 2 2 ( 1) ( 1) ( 1) 0       a b c 2 ( ) 0   

e)  f)  a b a c a 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( 1) 0       a b c

2 ( ) 0 2         

g)  a bc b ca c ab 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 0      

h) a a a a b c d e

2 2 2 2

0 2 2 2 2                                

i) 

a b b c c a

2 2 2 1 1 1 1 1 1 0                        

k)        a b b c c a 2 2 2

0      

Bài 2. Cho a, b, c  R. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) ; với a, b  0 b) a b a b

3 3 3

2 2        

a b a b ab 4 4 3 3   

c) d) , với a, b, c > 0. a a 4 3 4   a b c abc 3 3 3 3   

e) ; với a, b  0. f) ; với ab  1. a b a b

b a

6 6 4 4

2 2    ab a b 2 2 1 1 2 1 1 1     

g) h) ; với ab > 0. a

a

2

2

3 2 2

  

a b a b a b a b 5 5 4 4 2 2 ( )( ) ( )( )     

HD: a)  b)  a b a b 2 3( )( ) 0 8    a b a b 3 3 ( )( ) 0   

ThuVienDeThi.com