Kỳ thi olympic truyền thống 304 lần XX Năm 2014 mô Toán 10

Sở Giáo Dục & Đào Tạo TP. HỒ CHÍ MINH KỲ THI OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30/4  LẦN XX – NĂM 2014



Trường THPT Chuyên Môn thi : Toán - Khối : 10 Lê Hồng Phong Ngày thi : 05/04/2014 Thời gian làm bài : 180 phút

Ghi chú : – Thí sinh làm mỗi câu trên một hay nhiều tờ giấy riêng và ghi rõ câu số … ở trang 1 của mỗi tờ giấy làm bài. – Thí sinh không sử dụng máy tính cầm tay . – Đề này có 01 trang. Bài 1 (4 điểm): Giải hệ phương trình sau:

2 2 2 2

3 5x 2xy 2y 2x 2xy 5y 3(x y)

2x y 1 2 7x 12y 8 2xy y 5

        

       

.

Bài 2 (4 điểm): Cho đường tròn (O) đường kính AB , C là điểm di đô ̣ng trên (O) không trùng với A và B. Các tiếp tuyến của (O) tại B và C cắt nhau ta ̣i N, AN cắt (O) tại D khác A. Tiếp tuyến của (O) tại D cắt CN ta ̣i P. Chứ ng minh rằng P di đô ̣ng trên mô ̣t đường cố đi ̣nh khi C di đô ̣ng trên (O).

Bài 3 (3 điểm): Cho a, b, c là ba số thực dương tùy ý. Chứ ng minh:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c

7a b c a 7b c a b 7c        

≤ 1.

Bài 4 (3 điểm): Tìm tất cả các số nguyên dương k sao cho phương trình: x2 + y2 + x + y = kxy có nghiệm nguyên dương x , y.

Bài 5 (3 điểm): Cho trước số nguyên dương 2 n  . Trong một giải đấu cờ vua có 2n vận động viên tham gia, mỗi người đấu với người khác đúng một ván. Tại một thời điểm trong giải, người ta thấy có 2 1 n  ván đấu đã diễn ra . Chứng minh rằng khi đó có thể chọn ra ba vận động viên sao cho hai người bất kỳ trong ba người được cho ̣n đều đã thi đấu với nhau.

Bài 6 (3 điểm) Cho hàm số f: N*  N*\{1} (N* là tập hợp các số nguyên dương) thỏa mãn: f(n) + f(n + 1) = f(n + 2)f(n + 3) – 168. Tính f(2014). Hết

www.VNMATH.com

ThuVienDeThi.com

ĐÁP ÁN TOÁN 10 Bài Nội dung Bài 1 (4 đ): Giải hệ phương trình sau

2 2 2 2

3 5x 2xy 2y 2x 2xy 5y 3(x y) (1)

2x y 1 2 7x 12y 8 2xy y 5 (2)

                 .

∑=4.0

Ta có: (1)  x + y ≥ 0 và

2 2 2 2 5 2 2 2 2 5      x xy y x xy y

= 2 2 2 2 (2x y) (x y) (x 2y) (x y)       

≥ 2 2 (2x y) (x 2y) 2x y x 2y 3(x y)         

1.0

Dấu “=” xảy ra 0 x y    0.5

Thế y = x vào (2), ta được: 2 3 3 1 2. 19 8 2 5 x x x x      (3)

(3)   2 3 3 1 ( 1) 2 19 8 2 2 2              x x x x x x

0.5

Bài 1

  

 

3 2 2 2

2 2 3 3

2 6 7 2 2 3 1 1 19 8 ( 2) 19 8 ( 2)

               

x x x x x x x x x x x x x 0.5

  

 

2 2 2

2 2 3 3

2 ( 7) 2( ) 0 3 1 1 19 8 ( 2) 19 8 ( 2)

              

x x x x x x x x x x x x x 0.5



 

2

2 2 3 3

0 1 2( 7) 2 0(*) 3 1 1 19 8 ( 2) 19 8 ( 2)

                  

x x x x x x x x x

0,5

Vì x ≥ 0 nên (*) vô nghiệm. Do đó (3)  x = 0 hay x = 1.

Vậy hệ phương trình có nghiệm      ( , ) 0;0 , 1;1 x y 

0.5

Cho đường tròn (O) đường kính AB, C là điểm di động trên (O) không trùng với A và B. Các tiếp tuyến của (O) tại B và C cắt nhau tại N, AN cắt (O) tại D khác A. Tiếp tuyến của (O) tại D cắt CN tại P. Chứng minh rằng P di động trên một đường cố định khi C di động trên (O).

∑=4

Xét hệ trục Oxy sao cho A(0; 1), B(0; –1). Ta có: (O): x2 + y2 = 1; C  (O) nên C(cost; sint). Vì C không trùng A và B nên cost ≠ 0. CP là tiếp tuyến của (O) tại C  CP: cost.x + sint.y – 1 = 0.

0,5

N(xN; –1)  CP  N(1 sin cos  t t ; –1)

Đường thẳng AN có VTCP là 1 sin 1 ; 2 (1 sin ; 2cos ) cos cos            

 t AN t t t t

 AN: 2xcost + (1 + sint)(y – 1) = 0  AN: 2xcost + (1+ sint)y = 1 + sint

0,5

BD: (1 + sint)x – 2cost(y + 1) = 0  BD: (1+ sint) x – 2ycost = 2cost 0,5

Bài 2

Ta có D = AN  BD nên tọa độ D thỏa hệ: 0,5

P

D

N

O

B

A

C

www.VNMATH.com

ThuVienDeThi.com