Các dạng Toán cơ bản và nâng cao lớp 10

Biên soạn: GV Nguyễn Bá Cư 09644.23689

1

CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO LỚP 10

1.Sự biến thiên của hàm số y = f(x) trên khoảng (a;b).

 Hướng giải quyết:

 x  (a;b) ; x1x2. Tính f( x2) - f( x1 ) = ?

 Lập tỉ số : 2 1

2 1

( ) f(x ) x f x

x

  = k

 Nếu : + k0 thì hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (a;b) + k0 thì hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b)

* Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên của hàm số y = x2 +2x- 2 trên khoảng (-;-1) và (-1; +).

Bài giải:

 Xét (-;-1): x  (a;b) ; x1x2,ta có : f(x2)-f(x1) = x2

2 + 2 x2 – 2 – ( x1

2 + 2x1 -2) = ( x2 – x1)(x2+ x1+ 2)

Suy ra : 2 1

2 1

( ) f(x ) x f x

x

  = (x2+ x1+ 2 )

Vì x1, x2  ( -;-1) nên : x1 -1; x2-1  x1+ x2-2 hay x2+ x1+ 20

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (-;-1).

 Xét (-1; +): Tương tự

******************************************* 2. Vẽ Parabol :y = ax2

+ bx + c ( a0 )

Hướng giải quyết:

 Cho tập xác định D = R

 Tìm đỉnh của (P) : I ; 2 4 b

a a         

 Trục đối xứng của ( P) : x = 2

b

a 

 Lập bảng biến thiên : Với a > 0

ThuVienDeThi.com

Biên soạn: GV Nguyễn Bá Cư 09644.23689

2

x  2

b

a  +

y + +

4a

 

* Chú ý : + Nếu a0 thì bề lõm quay lên trên; nếu a0 thì bề lõm quay xuống dưới.

+ Hàm số này đồng biến trên khoảng ; 2

b

a         và nghịch biến trên

khoảng ; 2

b

a       

* Ví dụ: Vẽ đồ thị của hàm số : 2 2 3. y x x    Bài giải: Đồ thị của hàm số : 2 2 3. y x x    được vẽ như sau:  Bảng biến thiên:

x  2  y 

-1



 Đỉnh I(2; -1).  Trục đối xứng là đường thẳng: x = 2.  Giao điểm của đồ thị và trục tung: (0; 3)  Giao điểm của đồ thị và trục hoành: (1; 0) và (3; 0).

 Đồ thị :

4 3

2

1

3

-2 -1 2 1

y

x O

3. Tìm (P) : ax2

+ bx + c ( a 0 ) thỏa mãn điều kiện cho trước.

ThuVienDeThi.com

Biên soạn: GV Nguyễn Bá Cư 09644.23689

3

 Hướng giải quyết:

 Đỉnh của (P) : I ; 2 4 b

a a         

 Trục đối xứng của ( P) : x = 2

b

a 

 Nếu a0 thì GTNN của hàm số là 4a

  khi x = 2

b

a  và ngược lại nếu a 0

thì GTLN của hàm số là 4a

  khi x = 2

b

a  .

* Ví dụ: Cho hàm số (P) : y = ax2

+ bx + c ( a0 ). Biết (P) đi qua gốc O và có đỉnh I( -2;-2), tìm đồ thị của hàm số này.

Bài giải:

 (P) đi qua gốc O nên suy ra: c = 0

 Đỉnh I( -2;-2)  2

b

a  = -2; 4a

  = -2  b = 4a (1) ; b2 – 4ac = 8a (2)

* Thay c = 0 vào (2) ta được : b2 = 8a (3)

* Thế b = 4a vào (3) ta được : a =0 (L) or a = 1 2 ( Thỏa mãn ) .Với a =

1 2  b = 2.

Vậy đồ thị của hàm số này là :

************************************* 4.Giải và biện luận phương trình bậc hai : ax2

+ bx + c ( a0 )  Hướng giải quyết:

 Cho tập xác định D = R  + Xét a = 0

+ Xét a0 : Tính = b2 – 4ac * Nếu 0 thì pt trên vô nghiệm

* Nếu  = 0 thì pt trên có nghiệm kép : x1= x2 = 2

b

a 

* Nếu 0 thì pt trên có 2 nghiệm phân biệt x1= (-b+ ) : 2a và

x2 = (-b- ) : 2a.

y = 1

2 x2 + 2x.

ThuVienDeThi.com

Biên soạn: GV Nguyễn Bá Cư 09644.23689

4

* Ví dụ: Giaỉ và biện luận phương trình sau: x2- 4x + m – 3 = 0

Bài giải:

 Cho tập xác định D = R  Ta có: ’ = 7- m

* Nếu ’ 0 7- m 0m7. Khi đó pt vô nghiệm.

* Nếu ’ 07- m0m 7. Khi đó pt có 2 nghiệm phân biệt: x1 = 2+ (7-m) or x2 = 2- (7-m)

* Nếu ’= 0 7- m = 0m =7. Khi đó pt có 2 nghiệm kép: x1 = x2= 2. Kết luận: - m7: S = 

- m 7: S = 2  - m = 0: S = 2+ (7-m); 2- (7-m) 

****************************************** 5. Cho phương trình: ax2

+ bx + c ( a0 ). Với x1, x2 là nghiệm của phương trình, ta luôn có những đẳng thức sau:

 x1 + x2 = 2

b

a  và x1. x2 = c

a (Hệ thức vi-ét)

 x1

2 + x2

2 = (x1 + x2) 2- 2x1. x2  (x1 - x2) 2 = (x1 + x2) 2- 4 x1. x2  x1

4 + x2

4 = ( x1

+ x2) 2 - 2 x1x2 2 - 2 x1

2x2  x1

3+ x2

3 = (x1 - x2)3 - 3 x1x2(x1 + x2)

 x1 = 0 x2  0 0 p s

   

 x1 0 x2

1 2

1 2

0

0

x x

x x

      

 1 2

0 0 0 p x x s

     

 0  x1  x2 

0

0

0

s

p

      

( Hai nghiệm cùng dương phân biệt )

 x1  x2 0 …