Phương trình - Hệ phương trình - Bất phương trình dành cho lớp 10

Tài liệu phương trình-hệphương trình-bất phương trình

Phương trình-Hệphương trình-Bất phương trình dành cho lớp 10

Tác giả: Nguyễn Văn Quốc Tuấn - Lớp B – K112 - Đại Học Y Hà Nội

Các bài toán trong tài liệu là do Tuấn tổng hợp ở1 sốdiễn đàn, 1 sốtài liệu,. . . vềphần lời giải thì đa sốlà do Tuấn giải lại nhưng 1 sốcâu là do nhác quá :3 nên chép i nguyên lời giải của nó. Vì thếnên tài liệu có gì sai sót mong các bạn ghóp ý đểchỉnh sửa lại.

Tài liệu này Tuấn viết tặng 1 bạn ( Đừng hỏi là ai nhé :v ). Bên cạnh đó hi vọng các bạn có 1 tài liệu đểcó thểtham khảo thêm. Chúc các bạn học tốt.

Bài 1. Giải phương trình sau:

√

x + 3 + √

3x + 1 = 2√x + √

2x + 2

Lời giải: Điều kiện: x ≥0

Ta có: √3x + 1 −√2x + 2 = 2√x −√x + 3 ⇐⇒3x + 1 + 2x + 2 −2 √

6x2 + 8x + 2 = 4x + x + 3 −4 √

x2 + 3x ⇐⇒ √

6x2 + 8x + 2 = 2 √

x2 + 3x ⇐⇒6x2 + 8x + 2 = 4 (x2 + 3x) ⇐⇒2x2 −4x + 2 = 0 ⇐⇒x = 1

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x = 1

Bài 2. Giải phương trình sau:

x 3√

35 −x3 x + 3√

35 −x3 = 30

Lời giải: Đặt 3√

35 −x3 = y ⇐⇒x3 + y3 = 35

Kết hợp với phương trình ban đầu ta có hệ: ( x3 + y3 = 35 xy (x + y) = 30 ⇐⇒

( (x + y)3 −3xy (x + y) = 35 xy (x + y) = 30

⇐⇒

( (x + y)3 = 125 xy (x + y) = 30 ⇐⇒

( x + y = 5 xy = 6 ⇐⇒

" x = 3 x = 2

1 Nguyễn Văn Quốc Tuấn

www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam

www.DeThiThuDaiHoc.com ThuVienDeThi.com

Tài liệu phương trình-hệphương trình-bất phương trình

Vậy nghiệm của phương trình là:

" x = 3 x = 2

Bài 3. Giải phương trình sau:

16x4 + 5 = 6 3√

4x3 + x

Lời giải: Ta có V T > 0 nên điều kiện đểphương trình đã cho có nghiệm là V P > 0 ⇐⇒x > 0

Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 3 sốdương ta có:

6 3√

4x3 + x = 2.3. 3p

(4x3 + x) .1.1 ≤2 4x3 + x + 1 + 1

Mặt khác ta có:

16x4 + 5 ≥2 4x3 + x + 1 + 1 ⇐⇒16x4 −8x3 −2x + 1 ≥0 ⇐⇒(2x −1)2 4x2 + 2x + 1 ≥0

Do đó: V T ≥V P khi đó

16x4 + 5 = 6 3√

4x3 + x ⇐⇒

( 4x3 + x = 1 2x −1 = 0 ⇐⇒x = 1

2

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = 1

2

Bài 4. Giải phương trình sau:

3 x2 −1 + 4x = 4x √

4x −3

Lời giải:

Điều kiện: x ≥3

4

Ta có: 3 x2 −1 + 4x = 4x √

4x −3 ⇐⇒3x2 + 4x −3 = 4x √

4x −3

⇐⇒3x2 −4x √

4x −3 + 4x −3 = 0 ⇐⇒ x − √

4x −3 3x − √

4x −3 = 0

⇐⇒

" x = √4x −3 3x = √4x −3 ⇐⇒

" x2 = 4x −3 9x2 = 4x −3 ⇐⇒

" x = 3 x = 1

2 Nguyễn Văn Quốc Tuấn

www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam

www.DeThiThuDaiHoc.com ThuVienDeThi.com

Tài liệu phương trình-hệphương trình-bất phương trình

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:

" x = 3 x = 1

Bài 5. Giải hệphương trình sau: ( √x + 1 + 3y .x + (3y2 + 1) √x + 1 −51y −27 = 7y3 + 36y2

x2 + y2 + 3x + 5y + 10 = 0

Lời giải: Điều kiện: x ≥−1

Đặt: √x + 1 = a (a ≥0)

Thay a2 −1 = x vào phương trình thứnhất ta được

(a + 3y) (a2 −1) + (3y2 + 1) a −51y −27 = 7y3 + 36y2

⇐⇒a3 + 3a2y + 3ay2 = 7y3 + 36y2 + 54y + 27 ⇐⇒a3 + 3a2y + 3ay2 + y3 = 8y3 + 36y2 + 54y + 27 ⇐⇒(a + y)3 = (2y + 3)3 ⇐⇒a = y + 3 ⇐⇒y = a −3 ⇒y = √x + 1 −3

Thếxuống phương trình thứ2 ta được: x2 + 4x + 5 = √x + 1

Đặt √x + 1 = y + 2 (y ≥−2)

Khi đó ta có hệphương trình:

( x2 + 4x + 3 = y y2 + 4y + 3 = x ⇐⇒

( x2 −y2 + 5 (x −y) = 0 x2 + 4x + 3 = y

⇐⇒

( (x −y) (x + y + 5) = 0 x2 + 4x + 3 = y ⇐⇒

( x = y x2 + 3x + 3 = 0 (V N)

Vậy hệphương trình đã cho vô nghiệm.

Bài 6. Giải phương trình sau:

2x −1 + √

3x −2 = √

8x2 −2x −2

Lời giải:

Điều kiện: x ≥2

3

3 Nguyễn Văn Quốc Tuấn

www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam

www.DeThiThuDaiHoc.com ThuVienDeThi.com