Đề thi olympic truyền thống 304 lần XVI năm 2010 trường THPT chuyên Lê Hồng Phong môn thi toán - Khối 10

Sở Giáo Dục & Đào Tạo TP. HỒ CHÍ MINH KỲ THI OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30/4  LẦN XVI – NĂM 2010



Trường THPT Chuyên Môn thi: Toán - Khối: 10 Lê Hồng Phong Ngày thi: 03-04-2010

Thời gian làm bài: 180 phút

Ghi chú : Thí sinh làm mỗi câu trên một hay nhiều tờ giấy riêng và ghi rõ câu số … ở

trang 1 của mỗi tờ giấy làm bài. Đề này có 01 trang.

Bài 1: (4 điểm)

Giải hệ phương trình:

3 3 3 3

1 1 9

1 1 1 1 1 1 18

x y

x y x y

                                

Bài 2: (4 điểm)

Tìm số nguyên dương n lớn nhất sao cho tồn tại một tập hợp   1 2 , ,..., n a a a các hợp số

có tính chất: i) Hai số bất kỳ trong chúng là nguyên tố cùng nhau.

ii)  

2 1 2 5 ia n    với mọi i = 1, 2, …, n.

Bài 3: (4 điểm)

Cho M là một điểm tùy ý thuộc miền trong tam giác ABC đều. Gọi A1, B1, C1 lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên các cạnh BC, CA, AB. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

2 2 2

2 1 1 1

MA MB MC P (MA MB MC )     

Bài 4: (4 điểm)

Cho các số thực , , 1 a b c  thỏa 2 a b c abc     . Chứng minh rằng:

2 2 2 3 3 1 1 1 2 bc a ca b ab c abc   

Bài 5: (4 điểm)

ThuVienDeThi.com

Trong một giải thi đấu thể thao, một môn thể thao có x huy chương được phát trong n ngày thi đấu. Ngày thứ nhất người ta phát một huy chương và một phần mười số huy chương còn lại. Ngày thứ hai người ta phát hai huy chương và một phần mười số huy chương còn lại. Cứ tiếp tục, ngày thứ k người ta phát   3 k k n   huy chương và một phần mười số huy

chương còn lại. Ngày sau cùng, còn lại n huy chương để phát. Hỏi môn thể thao đó có tất cả bao nhiêu huy chương đã được phát và đã phát trong bao nhiêu ngày?

HẾT

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM TOÁN KHỐI 10 Bài 1: (4 điểm)

Giải hệ phương trình:

3 3 3 3

1 1 9

1 1 1 1 1 1 18

x y

x y x y

                                

Nội dung Điểm

Đặt 3 3 1 1 , a b x y   . Hệ phương trình thành:

3 3 9 ( )(1 )(1 ) 18 a b a b a b

        



3 ( ) 3 ( ) 9 ( )(1 ) 18 a b ab a b a b a b ab

           

1 điểm

Đặt S a b  , P ab  Hệ phương trình thành:

3 S 3PS 9 S(S P 1) 18

       



3

2

S 3PS 9 S PS S 18

       



3

2 S 3PS 9 (1) PS 18 S S (2)

       

1 điểm

Thế (2) vào (1), ta được:

3 2 S 3S 3S 63 0      3 (S 1) 64    S 3  (3) Thế (3) vào (2), ta được: P 2 

1 điểm

Từ đó suy ra (a,b) = (1;2) hay (a,b) = (2;1)

Vậy 1 ( , ) ;1 8 x y      

hay 1 ( , ) 1;8 x y      

1 điểm

Bài 2: (4 điểm)

ThuVienDeThi.com

Tìm số nguyên dương n lớn nhất sao cho tồn tại một tập   1 2 , ,..., n a a a các hợp số có

tính chất:

i) 2 số bất kỳ trong chúng là nguyên tố cùng nhau. ii) 2 1 (2 5) ia n    với mọi 1,2,..., i n  .

Nội dung Điểm Giả sử tìm được số nguyên dương n thỏa bài toán.

Ký hiệu qj là ước nguyên tố nhỏ nhất của aj (j = 1, 2, …, n) và qi là giá trị lớn nhất của các số qj.

Do 2 số bất kỳ trong chúng là nguyên tố cùng nhau nên các qj là phân biệt. Suy ra qi ≥ pn (pn là số nguyên tố thứ n).

1 điểm

Do đó ta có: 2 2 2 (2 5) i i n n a q p      2 5 np n  . 1 điểm Ta xét bảng sau:

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 un = 2n+5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 pn 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31

1 điểm

Vì un + 1 – un = 2 và pn + 1 – pn ≥ 2 mà p10 > u10  pn > un với mọi n ≥ 10. Suy ra 9 n  , lúc này   2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ,3 ,5 ,7 ,11 ,13 ,17 ,19 ,23 thỏa 2 điều kiện bài toán.

Vậy 9 n  là số nguyên dương lớn nhất thỏa yêu cầu bài toán.

1 điểm

ThuVienDeThi.com