Đề thi trại hè Hùng Vương năm học 2014 - 2015 môn Toán lớp 10

SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ ĐỀ THI TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG

NĂM HỌC 2014-2015

Môn: Toán; Lớp: 10 ĐỀ ĐỀ NGHỊ Thời gian: 180 phút không kể thời gian phát đề

Câu 1. (4 điểm) .

Giải hệ phương trình:

2 2 2 2

2 2 2( 4 8) ( 3 1 )( 3 1 )

2 17 15 2 13

x y y x y y x y

x x y y

          

     Câu 2. (4 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi I, J, M lần lượt là trung điểm của AH, EF, BC; P, Q lần lượt là các giao điểm của EF với các tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O); MF cắt AD tại L; ME cắt đường thẳng qua F và song song với BC tại K.

a) Chứng minh MP//CF, MQ//BE. b) Chứng minh IJ luôn đi qua điểm cố định khi (O) và BC cố định, A di động trên cung ABC

c) Tính góc giữa hai đường thẳng IK và EL?

Câu 3. (4 điểm) Tìm tất cả các đa thức P(x) với hệ số thực thỏa mãn:

với 2( ) ( ) ( ) (3 ) (3 ) P x P x y P y x P y x P y x       , . x y  A

Câu 4. (4 điểm) Tìm tất cả các bộ số nguyên dương (x; p; n) với p là số nguyên tố thỏa mãn phương trình:

( )( ) ( ). n x x x p      2 1 7 21 11 6 Câu 5. (4 điểm): Cho tập S = {1;2;3;...;2015}

a) Tìm k nhỏ nhất với k là số phần tử của một tập con bất kì của S để tập đó chứa ít nhất 3 số nguyên liên tiếp.

b) Tính số tập con gồm 16 phần tử của S thỏa mãn điều kiện có ít nhất 3 số nguyên liên tiếp trong tập đó.

----------- Hết ---------- Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:.............................................; Số báo danh:................................ …………………………………………………………………………………………

Người phản biện Trần Thị Kim Diên

SĐT: 0983496088

Người ra đề Triệu Văn Dũng

SĐT: 0915

ThuVienDeThi.com

SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ ĐỀ THI TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG

NĂM HỌC 2014-2015

Môn: Toán; Lớp: 10

HƯỚNG DẪN CHẤM Câu Nội dung Điểm 1. Câu 1. (4 điểm) . Giải hệ phương trình:

2 2 2 2

2 2 2( 4 8) ( 3 1 )( 3 1 )

2 17 15 2 13

x y y x y y x y

x x y y

          

    

4

ĐKXĐ: ; 0 8 4 2 2    y x 0 3 2   x y Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki cho (1) ta có:

3 2 2 ) 3 2 ( ) 2 ( .2 ) 8 4 ( 2 2 2 2 2 2 2             x y x x y x y x

= ) 1 3 )( 1 3 ( 1 3 2 3 2 2 2 2 2 y x y y x y y x y x y                

1

Dấu bằng xảy ra <=> 3 2 2 2     x y x

<=>

2 2 ( 4) (2 ) 2 x y x

     (2) <=> (x-y-1)(2x+2y-15) = 0

<=> (4) hoặc (5) 1  x y 2

2 15 x y  

1

+) Từ (4) và (3) ta được phương trình: 0 3 2 2    y y <=> (x; y) = ( ) (thỏa mãn) hoặc (x;y)= ( )(loại) 1;2 3 ;2  

1

+) Từ (5) và (3) ta được phương trình: 0 209 52 3 2    x x

<=> (x; y) = ( ); ( ) 2

7 ; 11 

6 7 ; 3 19

Vậy hệ phương trình có tập nghiệm (x; y) là

S = {( ); ( ); ( )} 1;2 2

7 ; 11 

6 7 ; 3 19

1

2 Câu 2. (4 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi I, J, M lần lượt là trung điểm của AH, EF, BC. P, Q lần lượt là giao của EF với tiếp tuyến tại B và C của (O). MF cắt AD tại L, ME cắt đường thẳng qua F và song song với BC tại K.

a) Chứng minh MP//CF, MQ//BE. b) Chứng minh IJ luôn đi qua điểm cố định khi (O) và BC cố định, A di động

4

ThuVienDeThi.com