Đề khảo sát học sinh giỏi năm học 2016 - 2017 môn Toán 6

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO

TIỀN HẢI

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016 -2017

m¤N: TOÁN 6 (Thời gian làm bài 120 phút)

Bài 1: (4,0 điểm)

1) Tính giá trị biểu thức: 1 3 5 ... 19 A 21 23 25 ... 39         

2) Tìm số tự nhiên x, biết: x x 1 x 2 18 5 .5 .5 1000...0: 2  

Bài 2: (4,0 điểm) 1) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì ƯCLN (21n + 4; 14n + 3) = 1 2) Chứng minh rằng: Nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 và 2p + 1 cũng là số nguyên tố thì

4p + 1 là hợp số?

Bài 3: (4,0 điểm) 1) Chứng minh rằng số viết bởi 27 chữ số giống nhau thì chia hết cho 27.

2) Tìm số tự nhiên n có 4 chữ số biết rằng n là số chính phương và n là bội của 147.

Bài 4: (6,0 điểm)

1) Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia OA vẽ các tia OB, OC sao cho

. Gọi OM là tia phân giác của . A A 0 0 AOB 120 , AOC 80   ABOC

a) Tính . AAOM

b) Vẽ tia ON là tia đối của tia OM. Chứng minh rằng OA là tia phân giác của . ACON

2) Trên nửa mặt phẳng bờ là tia Ox, vẽ các tia Ox1, Ox2, Ox3,..., Oxn sao cho:

; ; ; ...; . Tìm số n nhỏ nhất để trong A A 2 1 xOx 2xOx  A A 3 1 xOx 3xOx  A A 4 1 xOx 4xOx  A A n 1 xOx nxOx 

các tia đã vẽ có một tia là tia phân giác chung của 2017 góc.

Bài 5: (2,0 điểm)

Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để các phân số sau đều tối giản.

7 8 9 100 ; ; ;...; n 9 n 10 n 11 n 102    

Họ và tên thí sinh: ................................................................................................

Số báo danh: ....................................Phòng.....................................................

18 chữ số 0

ThuVienDeThi.com

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO

TIỀN HẢI

KỲ KHẢO SÁT SINH GIỎI NĂM HỌC 2016-2017

ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM CHẤM

m¤N: TOÁN 6 (Đáp án và biểu điểm chấm gồm 04 trang)

Bài 1 (4,0 điểm)

1) Tính giá trị biểu thức: . 1 3 5 ... 19 A 21 23 25 ... 39         

2) Tìm số tự nhiên x, biết: . x x 1 x 2 18

18c/sô0 5 .5 .5 1000...0: 2  

Câu Nội dung Điểm Ta có : 1 3 5 ... 19 (1 19) (3 17) (5 15) (7 13) (9 11)             = 20 20 20 20 20 100     

0.5đ

21 23 25 ... 39 (21 39) (23 37) (25 35) (27 33) (29 31)               = 60 60 60 60 60 300      0.5đ

Suy ra A = 100

300 0.5đ

a) 2.0đ

Rút gọn 1 A 3  0.5đ

x x 1 x 2 18

18c/sô0 5 .5 .5 1000...0: 2  

x x 1 x 2 18 18 5 10 : 2  0.5đ

18 18 3x 3 18 18 10 10 10 10 5 . ... 5 2 2 2 2

         

0.5đ

Suy ra: 3x 3 18   0.5đ

b) 2.0đ

Giải ra x = 5 0.5đ

Bài 2: (4,0 điểm) 1) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì ƯCLN (21n + 4; 14n + 3) = 1 2) Chứng minh rằng: Nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 và 2p + 1 cũng là số nguyên tố thì

4p + 1 là hợp số?

Câu Nội dung Điểm Gọi d là ƯCLN (21n + 4; 14n + 3) Suy ra: và 21n 4 d  14n 3 d  0.5đ

và 2.(21n 4) d    3.(14n 3) d   0.5đ 3.(14n 3) 2.(21n 4) d      0.5đ

a) 2.0đ

1 d  0.5đ

ThuVienDeThi.com

d 1   Vậy ƯCLN (21n + 4; 14n + 3) = 1

+ Vì p là số nguyên tố, p > 3

4p không chia hết cho 3  0.5đ

Ta có 4p + 2 = 2 (2p + 1) Theo bài ra p > 3 2p + 1> 7 và là số nguyên tố 2p + 1 không chia hết   cho 3. Suy ra 4p + 2 không chia hết cho 3

0.5đ

Mà 4p; 4p + 1; 4p + 2 là ba số tự nhiên liên tiếp nên tồn tại một số chia hết cho 3 do đó 4p + 1 chia hết cho 3. 0.5đ

b) 2.0đ

Vì 4p + 1 > 13 nên 4p + 1 là số tự nhiên lớn hơn 1 và có nhiều hơn 2 ước. Suy ra 4p + 1 là hợp số. 0.5đ

Bài 3 (4,0 điểm)

1) Chứng minh rằng số viết được với 27 chữ số giống nhau thì chia hết cho 27.

2) Tìm số tự nhiên n có 4 chữ số biết rằng n là số chính phương và n là bội của 147.

Câu Nội dung Điểm Trước hết ta chứng minh số gồm 27 chữ số 1 thì chia hết cho 27 Thật vậy: 

9c/sô 1 27c/sô 1 8c/sô 0 8c/sô 0 111...11 11...1x1000...01000...01     0.5đ

Mà và 

9c/sô 1 11...1 9 

8c/sô 0 8c/sô 0 1000...01000...01 3   0.5đ

27c/sô1 111...1 27   

0.5đ a) 2.0đ

Từ đó suy ra nếu một số viết bởi 27 chữ số a thì số đó bằng a. nên

27c/sô1 111...1 

số đó chia hết cho 27. 0.5đ

Vì n là số tự nhiên có 4 chữ số nên 1000 n 9999   Theo bài …