Đề khảo sát học sinh giỏi cấp trường 2014 - 2015 môn Toán 6 - Trường Thcs Nông Trang

TRƯỜNG THCS NÔNG TRANG- T.P VIỆT TRÌ

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI

CẤP TRƯỜNG 2014 - 2015

MÔN: TOÁN 6 Thời gian làm bài: 120 phút (không tính thời gian giao đề)

(Đề gồm 01 trang) Câu 1 (1,5 điểm): Thực hiện phép tính.

a)

3 3 3 3 3 24.47 23 7 11 1001 13 . 9 9 9 9 24 47 23 9 1001 13 7 11

A

           

b) M =

2 3 2012

2014 1 2 2 2 ... 2 2 2      

Câu 2 (2,5 điểm):

a) Cho S = 5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 +…+ 52012. Chứng tỏ S chia hết cho 65. b) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia cho 11 dư 6, chia cho 4 dư 1và chia cho 19 dư 11. c) Chứng tỏ: A = 10n + 18n - 1 chia hết cho 27 (với n là số tự nhiên)

Câu 3 (2 điểm):

a) Tìm x, y nguyên biết : 2x (3y – 2) + (3y – 2) = -55

b) Chứng minh rằng: 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ... 4 6 8 (2 ) 4 n     

Câu 4 (2,5 điểm): Cho nửa mặt phẳng bờ AB chứa hai tia đối OA và OB.

a) Vẽ tia OC tạo với tia OA một góc bằng ao, vẽ tia OD tạo với tia OCC một góc bằng (a + 10)o và với tia OB một góc bằng (a + 20)o

Tính ao

b) Tính góc xOy, biết góc AOx bằng 22o và góc BOy bằng 48o

c) Gọi OE là tia đối của tia OD, tính số đo góc kề bù với góc xOD khi góc AOC bằng ao

Câu 5 (1,5 điểm): Cho 2012 2011 2010 2009 10 10 10 10 8 A      a) Chứng minh rằng A chia hết cho 24 b) Chứng minh rằng A không phải là số chính phương.

---- HẾT ---- Lưu ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

ThuVienDeThi.com

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2014-2015

Môn: TOÁN 6

Câ u Ý Nội dung, đáp án Điể m 1,5 Đặt A=B.C

24.47 23 1128 23 1105 24 47 23 71 23 48 B         0,25 1 1 1 1 3 1 1 7 11 1001 13 1 1 1 1 3 9 1 1001 13 7 11

C

                      0,25

a

Suy ra 1105

144 A  0,25

M =

2 3 2012

2014 1 2 2 2 ... 2 2 2      

- Đặt A = 1+2+22+23 + ...+22012

- Tính được A = 22013 – 1 0,25

- Đặt B = 22014 – 2

- Tính được B = 2.(22013 – 1) 0,25

1

b

- Tính được M = 1

2 0,25

2,5 S = 5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 +…+ 52012. 0,25 S = (5+52+53+54)+55(5+52+53+54)+....+52009(5+52+53+54) 0,25 a Vì (5+52+53+54) =780 65  Vậy S chia hết cho 65 0,25 Gọi số cần tìm là a ta có: (a-6) 11 ;(a-1) 4; (a-11) 19.    0,25 (a-6 +33) 11 ; (a-1 + 28) 4 ; (a-11 +38 ) 19.    (a +27) 11 ; (a +27) 4 ; (a +27) 19.   

0,25

Do a là số tự nhiên nhỏ nhất nên a+27 nhỏ nhất Suy ra: a +27 = BCNN (4 ;11 ; 19 ) .

0,25

Từ đó tìm được : a = 809 0,25

2

b

10 18 1 10 1 9 27 n n A n n n     

0,25

ThuVienDeThi.com

99.....9 9 27

n

n n    

9.(11.....1 ) 27

n

n n     0,25

Ta biết số n và số có tổng các chữ số bằng n có cùng số dư khi chia cho 9 do đó nên . Vậy 11.....1 9

n

n   9.(11.....1 ) 27

n

n    27 A

0,25

2 Tìm x, y nguyên biết : 2x (3y – 2) + (3y – 2) = -55 =>(3y – 1)(2x + 1) = -55

=> (1) 55 2 1 3 2 x y    0,25 Để x nguyên thì 3y – 2  Ư(-55) =   1;5;11;55; 1; 5; 11; 55    0,25

+) 3y – 2 = 1 => 3y = 3 => y = 1, thay vào (1) => x = 28

+) 3y – 2 = 5 => 3y = 7 => y = (Loại) 7 3

+) 3y – 2 = 11 => 3y = 13 => y = (Loại) 13

3 +) 3y – 2 = 55 => 3y = 57 => y = 19 , thay vào (1) => x = -1 0,25 a

+) 3y – 2 = - 1 => 3y = 1 => y = (Loại) 1 3 +) 3y – 2 = -5 => 3y = -3 => y = -1, thay vào (1) => x = 5 +) 3y – 2 = -11 => 3y = -9 => y = -3 , thay vào (1) => x = 2

+) 3y – 2 = -55 => 3y = -53 => y = (Loại) 53 3 

Vậy ta có 4 cặp số x, y nguyên thoả mãn là (x ; y ) = (28 ; 1) , (-1 ; 19) , (5 ; -1), (2 ; -3) 0,25

b/ Chứng minh rằng : 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ... 4 6 8 2 4 n     

Ta có

2 2 2 2 1 1 1 1 ... 4 6 8 (2 ) A n     

0,25

2 2 2 2 1 1 1 1 ... (2.2) (2.3) (2.4) (2. ) A n      0,25

2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 4 2 3 4 4 1.2 2.3 3.4 ( 1) A n n n                       0,25

3

b

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 4 1 2 2 3 3 4 ( 1) A n n                

(ĐPCM) 1 1 1 1 4 4 A n          0,25

ThuVienDeThi.com