Toán 6 - Bài 2 Một số phương pháp chứng minh chia hết

Toán 6 – Năng khiếu

1

BÀI 2. MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP CHỨNG MINH CHIA HẾT – PHẦN I

PHẦN 1 : TÓM TẮT LÝ THUYẾT

I. Định nghĩa phép chia

Cho 2 số nguyên a và b trong đó b  0 ta luôn tìm được hai số nguyên q và r duy nhất sao cho: a = bq + r với 0  r   b

Trong đó: a là số bị chia, b là số chia, q là thương, r là số dư.

Đặc biệt: r = 0 thì a = bq, khi đó ta nói a chia hết cho b. Ký hiệu: a  b

Vậy a  b  Có số nguyên q sao cho a = bq

II. Cỏc tớnh chất :

1. Nếu a  b và b  c  a  c

2. Nếu a  b và c bất kỳ  ac  b

3. Nếu a  b và c  b  a  c  b

4. Nếu a + b  c và a  c  b  c

5. Nếu a  b  an  bn

6. Nếu ac  b và (a, b) =1  c  b

7. Nếu a  b và c  d  ac  bd

8. an – bn  a – b ( với a b, nN)

9. an – bn  a + b ( với a -b, n chẵn )

10. an + bn  a + b ( với a -b, n lẻ )

11. Trong n số tự nhiên liên tiếp có 1 và chỉ 1 số chia hết cho n

III. Một số dấu hiệu chia hết

1 1 0 ... n n N a a a a  

1. Dấu hiệu chia hết cho 2; 5; 4; 25; 8; 125

+ N  2  a0  2  a0{0; 2; 4; 6; 8}

+ N  5  a0  5  a0{0; 5}

+ N  4 (hoặc 25)  1 0 a a  4 (hoặc 25)

+ N  8 (hoặc 125)  2 1 0 a a a  8 (hoặc 125

2. Dấu hiệu chia hết cho 3 ; 9; 11

+ N  3 (hoặc 9)  a0+a1+…+an  3 (hoặc 9)

+ N  11  [(a0+a1+…) - (a1+a3+…)]  11

ThuVienDeThi.com

Toán 6 – Năng khiếu

2

IV. Đồng dư thức

1. Định nghĩa: Cho m là số nguyên dương. Nếu hai số tự nhiên a và b cho cùng số dư khi chia cho m thì ta nói a đồng dư với b theo modun m.

Ký hiệu: a  b (modun)

Vậy: a  b (modun)  a - b  m

2. Các tính chất:

1. Nếu a  b (mod m) và c  d (mod m)  a+c  b+d (mod m) và a-c  b-d (mod m)

2. Nếu a  b (mod m)  a+c  b+c (mod m)

3. Nếu a  b (mod m) và c  d ((mod m)  ac  bd (mod m)

4. Nếu a  b (mod m)  ac  bc (mod m)

5. Nếu a  b (mod m)  an  bn (mod m)

ThuVienDeThi.com

Toán 6 – Năng khiếu

3

PHẦN II: MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CHIA HẾT

1. Phương pháp 1: SỬ DỤNG DẤU HIỆU CHIA HẾT

Ví dụ 1: Tìm các chữ số a, b sao cho a56b  45

Giải

Ta thấy 45 = 5.9 mà (5 ; 9) = 1

để a56b  45  a56b  5 và 9

Xét a56b  5  b  {0 ; 5}

Nếu b = 0 ta có số a56b  9  a + 5 + 6 + 0  9

 a + 11  9

 a = 7

Nếu b = 5 ta có số a56b  9  a + 5 + 6 + 5  9

 a + 16  9

 a = 2

Vậy: a = 7 và b = 0 ta có số 7560

a = 2 và b = 5 ta có số 2560

Ví dụ 2: Biết tổng các chữ số của 1 số là không đổi khi nhân số đó với 5. Chứng minh rằng số đó chia hết cho 9.

Giải

Gọi số đã cho là a

Ta có: a và 5a khi chia cho 9 cùng có 1 số dư

 5a - a  9  4a  9 mà (4 ; 9) = 1

 a  9 (Đpcm)

Ví dụ 3: CMR số   

1 sè 81

111 111  81

Giải

Ta thấy: 111111111  9

Có   

1 sè 81

111 111 = 111111111(1072 + 1063 + … + 109 + 1)

Mà tổng 1072 + 1063 + … + 109 + 1 có tổng các chữ số bằng 9  9

 1072 + 1063 + … + 109 + 1  9

Vậy:

81 111 111 

sè 1

 81 (Đpcm)

ThuVienDeThi.com

Toán 6 – Năng khiếu

4

Bài tập về nhà

Bài 1: Tìm các chữ số x, y sao cho

a) 34 5 x y  36

b) 7 36 5 x y  1375

Bài 2: Chứng minh rằng : 10n + 72n – 1  81

Hướng dẫn - Đáp số

Bài 1: a) x = 4 và y = 2

x =0 và y = 6

b) 1357 =125.11

7 36 5 x y  125  6 5 y  125  y = 2

7 3625 x  11 (5+6+x)-(2+3+7) 11  x=1

Bài 2: 10n + 72n – 1=10n – 1 + 72n =

n c n c 99 9 72 9(11 1 8 ) 81 n n     

sè 9 sè 1

2. Phƣơng pháp 2: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CHIA HẾT CỦA MỘT TÍCH

Sử dụng tính chất “Trong n số tự nhiên liên tiếp có 1 và chỉ 1 số chia hết cho n”

Ví dụ 1: CMR: a. Tích của 2 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2

b. Tích của 3 tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6.

c. Tích của 2 số chẵn liờn tiếp chia hết cho 8

Giải

a) Trong 2 số tự nhiên liên tiếp bao giờ cũng có 1 số chẵn

 Số chẵn đó chia hết cho 2.

Vậy tích của 2 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2.

b) + Tích 2 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2

 tích của 3 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2

+ Trong 3 sô tự nhiên liên tiếp bao giờ cũng có 1 số chia hết cho 3.

 tích 3 số đó chia hết cho 3 mà (2; 3) = 1.

Vậy tích của 3 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết …