Toán 6 - Bài 3. một số phương pháp chứng minh chia hết

Toán 6 – Năng khiếu

1

BÀI 3. MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP CHỨNG MINH CHIA HẾT - PHẦN II

4. Phƣơng pháp 4: BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC CẦN CHỨNG MINH VỀ DẠNG TỔNG

Giả sử chứng minh A(n) k ta biến đổi A(n) về dạng tổng của nhiều hạng tử và chứng minh mọi hạng tử đều chia hết cho k.

Ví dụ 1 Cho 2 2004 2 2 ..... 2 A     . Chứng minh rằng:

a) 6 A b) 7 A c) 30 A Giải

Ta có

2 2004 2 2 ..... 2 A      2

và

2 3 4 2003 2004 3 2003 (2 2 ) (2 2 ) ..... (2 2 ) 2(1 2) 2 (1 2) ... 2 (1 2)               A  3

Mà (2;3) = 1 nên A 2.3 tức là 6 A

Ví dụ 2: CMR: Với  n là số tự nhiên chẵn thì biểu thức: A = 20n + 16n - 3n - 1  323

Giải

Ta thấy 323 = 17.19 mà (17;19) = 1 (1)

Biến đổi : A = (20n - 3n) + (16n – 1n)

20n - 3n  (20-3) = 17

16n – 1n  (16 + 1) 17 (do n chẵn)

 A  17 (2)

Mặt khác : A = (20n - 1) + (16n - 3n)

20n - 1  (20 - 1) = 19

16n - 3n (16 + 3)= 19 (do n chẵn)

 A  19 (3)

Từ (1), (2) và (3)  A  323

Ví dụ 3: CMR: n3 + 11n  6 với  n  N*.

Giải

Ta có: n3 + 11n = n3 - n + 12n = n(n2 - 1) + 12n = n(n + 1)(n - 1) + 12n

Vì n – 1; n ; n + 1 là 3 số tự nhiên liên tiếp

 n(n + 1) (n - 1)  6 và 12n  6

Vậy n3 + 11n  6

Ví dụ 4: Tìm số tự nhiên n sao cho:

a) 18n + 3  7

ThuVienDeThi.com

Toán 6 – Năng khiếu

2

b) 3n + 7  n +1

Giải

a) 18n + 3  7  14n + 4n + 7 – 4  7

 4n – 4  7

 4(n – 1)  7

Mà (4,7) =1 nên n – 1  7

Vậy n = 7k +1 (kN)

b) 3n+ 7  n + 1  3 (n + 1) + 4  n + 1

 4  n + 1

 n + 1  {1; 2; 4}

 n  {0; 1; 3}

5. Phƣơng pháp 5: DÙNG QUY NẠP TOÁN HỌC

Giả sử chứng minh A(n)  p (1) với n  a

 Bước 1: Ta chứng minh (1) đúng với n = a tức là chứng minh A(a)  p

 Bước 2: Giả sử (1) đúng với n = k tức là chứng minh A(k)  p với k  a

Ta chứng minh (1) đúng với n = k + 1 tức là phải chứng minh A(k+1)  p

 Bước 3: Kết luận A(n)  p với n  a

Ví dụ : Chứng minh A(n) = 16n - 15n - 1  225 (1) với  n  N*

A(n) = 16n - 15n - 1  225 (1) với  n  N*

Giải

 Với n = 1  A(n) = 0  225 vậy n = 1 thì (1) đúng

 Giả sử (1) đúng với n = k  1 nghĩa là A(k) = 16k - 15k - 1  225

 Ta phải CM (1) đúng với n = k+1 tức là A(k+1) = 16 k+1 - 15(k + 1) - 1  225

Thật vậy: A(k+1) = 16 k+1 - 15(k + 1) - 1

= 16.16k - 15k – 15.1 – 1

=16.16k - 15k – 16

= (16k - 15k - 1) + 15.16k - 15

= (16k - 15k - 1 ) + 15.(16k – 1)

= A(k) + 15.(16k – 1)

Ta có A(k)  225 (giả thiết quy nạp)

ThuVienDeThi.com

Toán 6 – Năng khiếu

3

và 16k – 1 = 16k – 1k  (16 – 1) = 15 nên 15.(16k – 1)  15.15=225  A(k+1)  225

Vậy A(n) = 16n - 15n - 1  225 (1) với  n  N*

Bài tập về nhà

Bài 1: CMR:

a) 2 100 3 3 ... 3    A  120

b) B = 62n + 19n - 2n+1 17 với n  N

c) C = 3n + 63  72 với n chẵn n  N, n  2

d) D= 5n+2 + 26.5n + 8 2n+1  59 với n  N

Bài 2: Tỡm số tự nhiờn n để :

a) 7n  n + 3

b) 4n – 5  13

Bài 3: Chứng minh rằng:

a) A(n) = 5n + 2.3n-1 +1  8. với n  .

b) B(n) =33n+3 - 26n - 27  169 với n  *

c) C(n) = 4n + 15n – 1  9 với n  *

Hướng dẫn - Đáp số

Bài 1:

a) A = (3 + 32 + 33 + 34) + ....+ (397 + 398 + 399 + 3100)

= 3(1+ 3 + 32 + 33 ) + ....+ 397 (1+ 3 + 32 + 33 )

= 3.40 + .... + 397 40 3.40 = 120

b) B = (62n - 2n )+ (19n - 2n) = (36n - 2n )+ (19n - 2n)  17

c) Có 72 = 9.8 và n = 2k (k  N)

C =3n + 63 = 32k + 63 = 9k + 63  9

C =3n + 63 = (32k – 1) + 64 = (9k - 1k) + 64  8

(8, 9) = 1

 C  8.9  C  72

d) 5n+2 + 26.5n + 8 2n+1 = 5n(25 + 26) + 8 2n+1

= 5n(59 - 8) + 8.64 n

= 5n.59 - 5n .8 + 8.64 n

=5n.59 + 8 (64n - 5n)  59

ThuVienDeThi.com