Toán 6 - Bài 4. một số phương pháp chứng minh chia hết

Toán 6 – Năng khiếu

1

BÀI 4. MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP CHỨNG MINH CHIA HẾT - PHẦN III

Phƣơng pháp 6: SỬ DỤNG ĐỒNG DƯ THỨC

I. Kiến thức cần nhớ:

1. Định nghĩa: Cho m là số nguyên dương. Nếu hai số nguyên a và b cho cùng số dư khi chia cho m thì ta nói a đồng dư với b theo modun m.

Ký hiệu: a  b (mod m)

Vậy: a  b (mod m )  a - b  m

2. Các tính chất:

 Nếu a  b (mod m) và c  d (mod m)  a+c  b+d (mod m) và a-c  b-d (mod

m)

 Nếu a  b (mod m)  a+c  b+c (mod m)

 Nếu a  b (mod m) và c  d ((mod m)  ac  bd (mod m)

 Nếu a  b (mod m)  ac  bc (mod m)

 Nếu a  b (mod m)  an  bn (mod m)

II. Cỏc vớ dụ:

Ví dụ 1: CMR: A= 21995 - 1  31

Giải

Ta có 21995 = ( 25)399

Vì 25 = 32 = 31.1 + 1

 25 1 (mod 31)

 ( 25)399  1399 (mod 31)

 21995  1 (mod 31) 21995 - 1  31

Ví dụ 2 : CMR: 22002 - 4  31

Ta có 2002 = 5.400 + 2  22002 = (25)400 .22

Vỡ 25 ≡ 1 (mod 31)

 (25)400 ≡ 1400 (mod 31)

 (25)400.22 ≡ 1.22 (mod 31)

 22002 ≡ 4 (mod 31)

 22002 - 4 chia hết cho 31

Ví dụ 3 : CMR 3105 +4105  13

3105= (33)35 4105= (43)35

33 = 27 ≡ 1 (mod 13)  (33)35≡ 1 (mod 13)

43 =64 ≡ -1 (mod 13)  (43)35≡ (-1)35 ≡- 1 (mod 13)

 (33)35 + (43)35 ≡ 1+ (-1) (mod 13)

ThuVienDeThi.com

Toán 6 – Năng khiếu

2

 (33)35 + (43)35 ≡ 0 (mod 13)

 3105 +4105  13

Ví dụ 4 : Chứng minh rằng B = 7.52n + 12.6n chia hết cho 19

Giải

Ta có B = 7.52n + 12.6n = 7.25n + 12.6n

Vỡ 25 ≡ 6 (mod 19)

 25n ≡ 6n (mod 19)

 7.25n ≡ 7.6n (mod 19)

 7.25n + 12.6n ≡ 7.6n + 12.6n (mod 19)

 B ≡ 19.6n (mod 19) ≡ 0 (mod 19) .

Điều này chứng tỏ B chia hết cho 19.

7. Phƣơng pháp 7: SỬ DỤNG NGUYÊN LÝ ĐI-RÍCH-LÊ

 Nếu đem n + 1 con thỏ nhốt vào n lồng thì có ít nhất 1 lồng chứa từ 2 con trở lên.

 Nếu đem nk + 1 con thỏ nhốt vào n lồng thì có ít nhất 1 lồng chứa từ k+1 con thỏ trở lên

Ví dụ 1: CMR: Trong 7 số tự nhiên bất kỳ luôn tìm được 2 số có hiệu chia hết cho 6

Phân tích

 Khi chia một số bất kỳ cho 6 thì số dư chỉ có thể làm một trong 6 số: 0; 1; 2; 3; 4; 5

 Coi 7 số là 7 ‘con thỏ’ được nhốt vào ‘6 lồng’ :

Lồng 1: các số chia 6 dư 0

Lồng 2: các số chia 6 dư 1

…

Lồng 6: các số chia 6 dư 5

 Theo nguyên lý ĐI-RÍCH-LÊ sẽ có ít nhất 1 lồng có 2 thỏ trở lên, tức là có ít nhất hai

số có cùng số dư khi chia cho 6 nên hiệu của 2 số này chia hết cho 6

Giải

 Khi chia một số bất kỳ cho 6 thì số dư chỉ có thể làm một trong 6 số: 0; 1; 2; 3; 4; 5

 Theo nguyên lý ĐI-RÍCH-Lấ trong 7 số tự nhiên có ít nhất 2 số có cùng số dư khi

chia cho 6 nên hiệu của 2 số này chia hết cho 6

Nhận xét : Trong n+1 số tự nhiên bất kỳ luôn tìm được 2 số có hiệu chia hết cho n

Ví dụ 2: Cho 3 số lẻ. Chứng minh rằng tồn tại hai số có tổng hoặc hiệu chia hết cho 8

Phân tích

 Khi chia một số lẻ bất kỳ cho 8 thì số dư chỉ có thể làm một trong 4 số: 1; 3; 5; 7

 Coi 3 số là 3 ‘con thỏ’ được nhốt vào ‘2 lồng’ :

Lồng 1: các số chia 8 dư 1 hoặc 7

Lồng 2: các số chia 8 dư 3 hoặc 5

ThuVienDeThi.com

Toán 6 – Năng khiếu

3

 Theo nguyên lý ĐI-RÍCH-Lấ sẽ có ít nhất 1 lồng có 2 thỏ trở lên, tức là tồn tại 2 số

thuộc cùng một lồng.

o Nếu hai số dư bằng nhau thì hiệu của chúng chia hết cho 8

o Nếu hai số dư khác nhau thì tổng của chúng chia hết cho 8

Giải

 Khi chia một số lẻ bất kỳ cho 8 thì số dư chỉ có thể là một trong 4 số: 1; 3; 5; 7

 Chia 3 số vào 2 nhóm

Nhóm 1: các số chia 8 dư 1 hoặc 7

Nhóm 2: các số chia 8 dư 3 hoặc 5

 Theo nguyên lý ĐI-RÍCH-LÊ sẽ có ít nhất 1 nhóm có từ 2 số trở lên

o Nếu hai số dư bằng nhau thì hiệu của chúng chia hết cho 8

o Nếu hai số dư khác nhau thì tổng của chúng chia hết cho 8

Bài tập về nhà

Bài 1: Chứng minh rằng

a) 32003 - 9  13 .

b) 301293 - 1  13

c) 270 + 370  13

Bài 2: Chứng minh 62n + 1 + 5n + 2  31 với mọi n là số tự nhiên

Bài 3: CMR: Trong 11 số tự nhiên bất kỳ bao giờ cũng có ít nhất hai số có chữ số tận cùng giống nhau

Bài 4: Cho 3 số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng tồn tại hai số có tổng hoặc hiệu chia hết cho 12

Bài 5: CMR: Trong 5 số tự nhiên bất kỳ bao giờ cũng tồn tại 3 số có …