Đề thi olympic lớp 6 năm học 2013 - 2014 môn thi Toán - Trường Thcs Bình Minh

PHÒNG GD& ĐT THANH OAI ĐỀ THI OLYMPIC LỚP 6 TRƯỜNG THCS BÌNH MINH Năm học 2013 - 2014

Môn thi : Toán Thời gian làm bài : 120 phút

(Không kể thời gian giao đề) Câu 1: (5 điểm)

a) Tìm x biết (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + ... + (x + 100) = 5750.

b) Tìm x; y Z biết 2x + 124 = 5y . 

c) Tìm kết quả của phép nhân A = .   

s c / 100

6 ... 666   

s c / 100

9 ... 999

Câu 2 : (4 điểm)

a) Chứng minh rằng : là một số tự nhiên. 72

8 102014 

b) Cho 7. Chứng tỏ rằng 2a + 3b + c 7 abc  

c) Cho các số tự nhiên từ 11 đến 21 được viết theo thứ tự tùy ý, sau đó đem cộng

mỗi số đó với số chỉ thứ tự của nó ta được một tổng . Chứng minh rằng trong các tổng

nhận được bao giờ cũng tìm ra hai tổng mà hiệu của chúng là một số chia hết cho 10.

Câu 3 : (2 điểm) Cho S = . Chứng minh rằng 3 < S < 8. 49

5 ... 23

5 22

5 21

5 20

5     

Câu 4 : (4 điểm) Tìm 3 số có tổng bằng 420, biết rằng số thứ nhất bằng số thứ 7 6

11

9

hai và bằng số thứ ba. 3 2

Câu 5 : (5 điểm)

a) Cho góc xOy bằng 800, góc xOz bằng 300 . Tính số đo góc yOz ?

b) Cho 4 điểm A; B; C; D không nằm trên đường thẳng a. Chứng minh rằng

đường thẳng a hoặc không cắt, hoặc cắt ba, hoặc cắt bốn đoạn thẳng trong số các đoạn

thẳng sau : AB; AC; BC; BD; CD; AD.

ThuVienDeThi.com

PHÒNG GD& ĐT THANH OAI HƯỚNG DẪN CHẤM THI OLYMPIC TRƯỜNG THCS BÌNH MINH Năm học 2013 - 2014 Môn thi : Toán - Lớp 6

Câu Nội dung Điểm

Câu 1 (5 điểm)

a) Ta có (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + ... + (x + 100) = 5750.

=> 100x + 101.50 = 5750

=> 100x = 700 = > x = 7

b) +) x = 0 => 20 + 124 = 5y => 125 = 5y

=> 53 = 5y => y = 3

+) x 0 => 2x + 124 là số chẵn => 2x + 124 = 5y là vô lý 

Vậy x = 0 và y = 5 thì thỏa mãn đề bài.

c) A = . = A = .(1 - 1)   

s c / 100

6 ... 666   

s c / 100

9 ... 999   

s c / 100

6 ... 666   

s c / 100

0 ... 00

= -   

s c / 100

6 ... 666   

s c / 100

0 ... 000   

s c / 100

6 ... 666

= 5 4   

s c / 99

6 ... 666   

s c / 99

3 ... 333

0,75

0,75

0,5

0,25

0,5

0,25

0,5

0,5

1,0

Câu 2 (4 điểm)

a) Chứng minh : 102014 + 8 8 

102014 + 8 9 

Mà (8; 9) = 1 => 102014 + 8 72 

=> là một số tự nhiên. 72

8 102014 

b) 7 => 100a + 10b + c 7 => 98a + 7b + ( 2a + 3b + c) 7 abc   

=> 7(14a + b) + ( 2a + 3b + c) 7 

Mà 7(14a + b) 7 => ( 2a + 3b + c) 7  

c) Khi xét 1 số tự nhiên khi chia cho 10

=> Có thể xảy ra 10 trường hợp về số dư (1)   9 ;...; 2;1;0

Mà các số tự nhiên từ 11 --> 21 gồm (21 - ) + 1 = 11 số.

Biết mỗi số cộng với đúng số thứ tự của nó được 1 tổng

=> Có 11 tổng , mỗi tổng đều có giá trị là 1 số tự nhiên (2)

Từ (1) và (2) => Trong 11 tổng trên chắc chắn có 2tổng có

cùng số dư khi chia cho 11

=> Luôn hai tổng có hiệu chia hết cho 10. 

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,5

0,5

0,5

0,5 0,5

ThuVienDeThi.com

Câu 3 (2 điểm) Xét tổng S = có 30 số hạng 49

5 ... 23

5 22

5 21

5 20

5     

Mà 50

5 49

5 ;...; 50

5 22

5 ; 50

5 21

5 ; 50

5 20

5    

=> (1) 3 50

5 . 30    S S

Lại có : 20

5 49

5 ;...; 20

5 22

5 ; 20

5 21

5 ; 20

5 20

5    

=> S < => S < 8 (2) 20 150 20

5 . 30 

Từ (1) và (2) => 3 < S < 8.

0,25

0,5

0,25

0,5

0,25

0,25

Câu 4 (4 điểm) Lập luận => Số thứ nhât bằng số thứ hai. 22 21

Số thứ ba bằng số thứ hai. 22 27

=> Tổng của ba số bằng số thứ hai 22 70 22

27 21 22   

=> Số thứ hai là : 420 : = 132 22 70

=> Số thứ nhất là : 126 132 . 22 21 

=> Số thứ nhất là : 162 132 . 22 27 

0,75

0,75

0,75

0,75

0,5

0,5

Câu 5 (5 điểm)

a) +) TH1: Hai tia Oy và Oz nằm trên hai nửa mp đối nhau bờ

chứa tia Ox :

Lập luận => Tia Ox nằm giữa hai tia Oy và Oz

z

x

y

O

=> góc yOz = 800 + 300 = 1100

0,5

0,5

ThuVienDeThi.com