Kỳ thi học sinh giỏi lớp 9 cấp quận vòng 2

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

QUẬN LONG BIÊN

KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP QUẬN VÒNG 2 NĂM HỌC 2014-2015

Môn: Toán Ngày thi: 27 / 11 /2014 Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

Câu 1: (4,0 điểm)

Cho biểu thức: . 3 2 9 3 9 : 1 9 2 3 6 x x x x P x x x x x

                      a) Rút gọn P.

b) Tính giá trị của P khi x =    

 

3 10 6 3. 3 1

6 2 5 5

Câu 2: (4,0 điểm)

a)Chứng minh rằng : 3n4 - 14n3 + 21n2 - 10n 24 với mọi n là số tự nhiên.  b) Tìm các số nguyên x để biểu thức x4 - x2 + 2x + 2 là số chính phương..

c) Chứng minh rằng : 1 1 1 1 17 18 2 3 4 100       

Câu 3. (4,0 điểm)

Cho hàm số ( x là ẩn , m là tham số ; m  3). m x m y     2 ) 3 ( a) Tìm m để đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ (-2;2). b) Biết rằng đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định. Tìm tọa độ điểm cố định đó. c) Tìm m để đồ thị hàm số cắt hai trục tọa độ tạo thành tam giác có diện tích bằng 2. Câu 4: (6 điểm ) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O , đường kính BC. Kẻ đường cao AH của

tam giác ABC. Biết BC=20cm; 3 4 AH HC 

a) Tính độ dài AB; AC. b) Đường tròn đường kính AH cắt (O) , AB, AC lần lượt tại M; D; E. Đường thẳng DE cắt đường thẳng BC tại K. Chứng minh 3 điểm A, M; K thẳng hàng.

c) Chứng minh 4 điểm B; D; E; C cùng thuộc một đường tròn. Câu 5: (2 điểm ) Trong mặt phẳng cho 2015 điểm phân biệt sao cho trong 3 điểm bất kì

trong 2015 điểm đã cho luôn tồn tại 2 điểm có khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn 1.

Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn bán kính bằng 1 chứa ít nhất 1008 điểm trong

2015 điểm đã cho (hình tròn ở đây kể cả biên)

––––––––––Hết––––––––––

Chú ý: : Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay. Giám thị coi thi không giải thích gì thêm. Phần Hình học không sử dụng các kiến thức chương III- Toán 9.

ThuVienDeThi.com

HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 9 VÒNG 2

Năm học 2014-2015 TT Nội dung Điểm Câu 1 4đ ĐKXĐ: (*) 0; 4; 9 x x x    0,5 a

Rút gọn được : 2 x P

x   2,0

b Biến đổi được x = 2. Thay vào biểu thức tính được 1 2 P  1,5 Câu 2 4đ a Biến đối được A=n(n-1)(n-2)(3n-5) Khai triển thành : A=3n(n-1)(n-2)(n-3)+4n(n-1)(n-2) Do n-2; n-1; n là 3 số nguyên liên tiếp nên có một số chia hết cho 2, một số chia hết cho 3. Lập luận để khẳng định được A chia hết cho 6. Suy luận được 4n(n-1)(n-2) chia hết cho 24. Do n(n-1)(n-2)(n-3) là tích 4 số nguyên liên tiếp vì vậy có 2 số chẵn liên tiếp nên có một số chia hết cho 2 , số còn lại chia hết cho 4 . Vậy tích chia hết cho 8. Suy luận được 3n(n-1)(n-2)(n-3) chia hết cho 24. Vậy A chia hết cho 24.

1,5

Biến đổi đẳng thức x4 - x2 + 2x + 2 = (x+1)2 [(x-1)2+1] (*) 0,5 b

Nếu (x+1) 2 =0 và [(x-1)2+1] tùy ý lập luận suy được x= - 1 Nếu [(x-1)2+1] ≠ 0 thì [(x-1)2+1] là số chính phương Đặt [(x-1)2+1] =y2 ( y  N) lập luận để suy được x=1

1.0

Sử dụng phép biến đổi liên hợp chứng minh được

  1 2( 1 ) 2 1 ; 2 k k k k k k k        A

Thay số áp dụng với k=2 ; k=3…k=100

Lập luận để suy được 1 1 1 1 17 18 2 3 4 100       

1,0

Câu 3 4đ a

Hàm số (với m khác 3). m x m y     2 ) 3 ( Tìm được m=6 (thỏa mãn)

1,5 đ

b

Gọi điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua M(x0;y0)

Khi đó với mọi m. m x m y     2 ) 3 ( 0 0 Đưa về với mọi m khác 3 0 ) 3 2 ( )1 ( 0 0 0      x y x m



  

  

 

0 3 2

0 1

0 0

0

x y

x

Tìm được M(-1;5) Vậy đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định M(-1;5)

0.75

0.75

ThuVienDeThi.com