Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường năm học 2016 - 2017 môn Toán lớp 9

PHÒNG GD-ĐT MỘ ĐỨC TRƯỜNG THCS ĐỨC MINH

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

NĂM HỌC 2016-2017

MÔN TOÁN LỚP 9 Ngày thi 13 tháng 10 năm 2016 Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề

Bài 1: (4,0 điểm)

Cho biÓu thøc 1 1 2x x 1 2x x x x A : 1 x 1 x x 1 x x

                     

Với    1 x 0; x ; x 1 4 a) Rút gọn biểu thức A. b) Tính giá trị của A khi x 17 12 2   c) So sánh A với . A Bài 2: (3,5 điểm) Chứng minh rằng:

a) Biết a; b; c là 3 số thực thỏa mãn điều kiện:     1 2 a b 2 b c b    

a = b + 1 = c + 2 ; c >0.

b) Biểu thức B= có giá trị là một số tự nhiên.

2 2

2 2016 2016 1 2016 2017 2017   

Bài 3: (3,0 điểm) Giải phương trình a) 2 2 x 3x 2 x 3 x 2 x 2x 3         

b) . x 3 4x 1 3x 2 5    

Bài 4.(8,0 điểm)

Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Vẽ hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Lấy điểm E bất kì trên cung nhỏ AD. Nối E với C cắt OA tại M; nối E với B cắt OD tại N.

a) Tính CM.CE + BD2 theo R.

b) Chứng minh rằng tích là một hằng số. OM ON AM DN 

c) Tìm vị trí của điểm E để tổng đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị đó. OM ON AM DN 

Bài 5: (1,5 điểm) Cho    

2008 2008 M 3 2 3 2    

a) Chứng minh rằng M có giá trị nguyên. b) Tìm chữ số tận cùng của M.

Chú ý: Thí sinh không được sử dụng máy tính.

----- HÕt ---

ThuVienDeThi.com

ĐÁP ÁN Bài 1 (4 điểm) a) Rút gọn biểu thức (2 điểm)

1 1 2x x 1 2x x x x 1 A : x 0;x ;x 1 1 x 4 1 x x 1 x x

                             

   

    

                     

x 2x x 1 x 1 x 2x 2 x x 1 : x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x x

 

     

     

                    

x 1 2 x 1 x x 1 2 x 1 2 x 1 : x x 1 1 x 1 x 1 x 1 x x

   2 x 1 1 x : 2 x 1

1 x 1 x x x x 1

                       

       

1 x x x 1 x 2 x 1 : 2 x 1 : x x 1 1 x 1 x x

          

   

1 1 1 x x :

x x x 1 1 x 1 x x

       

0.5

0.5

0.25

0.25

0.5

b) Tính giá trị của A khi (1 điểm). x 17 12 2  

TÝnh    

2 2 x 17 12 2 3 2 2 x 3 2 2 3 2 2 3 2 2           

    1 3 2 2 17 12 2 5 3 2 2 15 10 2 A 5 3 2 2 3 2 2 3 2 2

            

0.5

0.5

c) So sánh A với (1 điểm). A

Biến đổi 1 x x 1 A x 1 x x      

Chứng minh được với mọi 1 x 2 x   1 x 0;x ;x 1 4   

  1 A x 1 1 A 1 A 1 0 A A 1 0 x

A A 0 A A

        

    

0.25

0.25

0.5

Bài 2 (3 điểm)

a) Chứng minh rằng biết a; b; c là ba số thực thoả     1 2 a b 2 b c b    

mãn điều kiện a = b + 1 = c + 2 ; c > 0 (2 điểm).

ThuVienDeThi.com

Ta cã: .  a b 1 a b 1 a b 1     

. (c > 0 theo (gt))  b 1 c 2 b c 1 b c 0 2        Từ (1) và (2) suy ra a > b > c > 0.

Mặt khác (Vì a   

1 1 a b 1 a b a b 1 a b

a b 2 b          >b>0)

.  

1 2 a b

b   

Chứng minh tương tự cho trường hợp: .   1 2 b c b

 

Vậy (đpcm).     1 2 a b 2 b c b    

0.5

0.25

0.25

0.5

0.25

0.25

b) Biểu thức có giá trị là một số tự nhiên (1 điểm).

Ta cã : B = = .

2 2

2 2016 2016 1 2016 2017 2017   

2 2

2 2016 2016 2017 2.2016 2017 2017   

= .

2 2

2 2016 2016 2016 2017 2 .2017 2017 2017 2017 2016 2016 2017 2017 2017

  

  

= 2017. Vậy B có giá trị là một số tự nhiên.

0.5

0.25

0.25

Bài 3 (3điểm) Giải phương trình

a) (1.75 điểm) 2 2 x 3x 2 x 3 x 2 x 2x 3                x 1 x 2 x 3 x 2 x 1 x 3 1          

§iÒu kiÖn

  

  

x 1 x 2 0

x 3 0 x 2 x 2 0

x 1 x 3 0

                      1 x 2 x 1 1 x 3 x 1 1 0       

  

x 1 1 0 x 1 1 x 1 1 x 2 x 3 0 x 2 x 2 x 3 0 x 2 x 3

                            x = 2 thoả mãn điều kiện xác định. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2.

0.5

0.25

0.25

0.5

0.25

b) (1). (1.25 điểm). x 3 4x 1 3x 2 5    

§iÒu kiÖn . 2 x 3 

    4x 1 3x 2 . 4x 1 3x …