Đề thi học sinh giỏi lớp 9 năm học 2015 - 2017 môn Toán

0

PHÒNG GD&ĐT NÚI THÀNH TRƯỜNG THCS TRẦN QUÝ CÁP

(Đề thi gồm có 01 trang)

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9

NĂM HỌC 2015 - 2017

Môn: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 24 tháng 10 năm 2017

Bài 1 (4.0 điểm). a/ Chứng minh rằng: 32n+1 + 2n+2 7, .  n N  b/ Cho a+b+c0; a3+b3+c3=3abc. Chứng minh rằng a=b=c . Bài 2 (5.0 điểm). 1) Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: 8xy+6x -12y+134=0

2) Cho a, b, c > 0 .Chứng minh rằng :

2 2 2 a b c a b c 0 b c c a a b 2          Bài 3 (2 điểm) Cho biểu thức :

. 2 2 5 4 2014 M x x y xy y      

Với giá trị nào của x, y thì M đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó Bài 4 (3 điểm). Cho tứ giác ABCD có O là giao điểm hai đường chéo và diện tích tam giác AOB bằng 4 ,diện tích tam giác COD bằng 9 .Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tứ giác ABCD.

Bài 5 (3 điểm).

Cho tam giác ABC có . Đường trung tuyến BM và đường phân giác CD cắt nhau tại 0 ^

105  BAC

K sao cho KB = KC. Kẻ đường cao AH (H BC). Chứng minh HA = HB. 

Bài 6 (3 điểm).

Cho Tam giác ABC cân ở A có góc ABC bằng 1080. Chứng minh là số vô tỉ. AC BC

Họ tên học sinh: .................................................................; Số báo danh: .......................

Giám thị 2: ......................................................................... Ký tên ......................................

ĐỀ CHÍNH THỨC

ThuVienDeThi.com

1

PHÒNG GD&ĐT NÚI THÀNH TRƯỜNG THCS TRẦN QUÝ CÁP

(Đề thi gồm có 04 trang)

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9

NĂM HỌC 2016 - 2017

Môn: Toán

Bài Nội dung Điểm Bài 1(4đ)

a/ (2đ) 32n+1 + 2n+2 = 3.32n + 22.2n

= 3.9n + 4.2n = 3( 7 + 2 )n + 4.2n = 7K + 3.2n + 4.2n = 7K + 7.2n 7,  n N 

0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ b/(2đ) Áp dụng hằng đẳng thức:(A+B)3=A3+B3+3AB(A+B) A3+B3=(A+B)(A2-AB+B2) a3+b3+c3=3abc(a+b)3+c3-3abc-3ab(a+b)=0 (a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2]-3ab(a+b+c)=0 (a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)=0 Vì a+b+c0 nên a2+b2+c2-ab-bc-ca=0 (a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0 a=b=c

0.5 0.5 0.5 0.5 Bài 2(5 đ)

a) 2,5 đ

Ta có: 8xy+6x -12y-134=0 <=>4y(2x-3)+3(2x-3)-134=0 <=> (2x-3)(4y+3)=-143 =13.-11=-11.13=-13.11=11.-13=-1.143=143.-1=1.-143=-143.1

 (2x-3) 13 8 4y 3 -11 7 / 2( )

(2x-3) 13 5 4y 3 11 2

(2x-3) 11 7 4y 3 -13 4

(2x-3) 11 4 4y 3 13 2 / 5( )

(2x-3) 143 73 4y 3 -1 1

(2x-3) 1 1 4y 3 143 35

x

y loai

x

y

x

y

x

y loai

x

y

x

y

                                                                    

(2x-3) 143 35 4y 3 1 1/ 2( )

(2x-3) 1 2 4y 3 -143 146 / 4( )

x

y loai

x

y loai

                           Vậy các cặp (x;y) nguyên thỏa mãn là (-5 ;2), (7; -4), ( 1; 35), (73; -1),

0.5

0.5

1

0.5

b/ 2.5đ Vì a, b, c >0 , áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có :

ThuVienDeThi.com

2

2 2

2 2

2 2

2 . 4 4

2 . 4 4

2 . 4 4

a b c a b c a b c b c

b c a b c a b c a c a

c a b c a b c a b a b

      

      

      

Suy ra :

2 2 2

2 a b c a b c a b c b c c a a b

          

(đpcm)

2 2 2

2 a b c a b c b c c a a b

        

0,5 đ

0,5 đ

0,5 đ

0,5 đ

0,5 đ

Bài 3

(2đ)

2 2 5 4 2014 M x x y xy y      

    2 2 4 4 2 1 2 2 2007 M x x y y xy x y           

       2 2 2 1 2 1 2007 M x y x y        

     

2

2 1 3 2 1 1 2007 2 4 M x y y              

Do và  

2 1 0 y      

2 1 2 1 0 2 x y          

,x y 

2007 M  

min 2007 2; 1 M x y     

(0,5đ)

(0,5đ)

(0,5đ)

(0,5đ).

Bài 4

(3 đ) 0.25

Ta có :

AOB AOD

BOC COD

S S OA S S OC         Mà 4, 9 , ê . . 4.9 36 AOB COD AOD BOC AOB COD S S n n S S S S      Áp dụng bất đẳng thức cauchy cho hai số dương ,ta có

2 . 12 AOD BOC AOD BOC S S S S    Vậy: 25 ABCD AOD BOC AOB COD S S S S S      Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi SAOD=SBOC hay tứ giác ABCD là hình thang Vậy giá trị nhỏ nhất của diện tích tứ giác ABCD là 25

0.5

0.5 0.5 …