Đề thi học sinh giỏi lớp 9 THCS môn thi Toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS THÀNH PHỒ HỒ CHÍ MINH CẤP THÀNH PHỐ _________________ KHÓA THI NGÀY 20/3/2017

Môn thi: TOÁN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (Đề thi gồm 01 trang) (Không kể thời gian phát đề)

Bài 1. (3 điểm)

Cho ba số a, b, c thỏa các điều kiện a − b = 7, b − c = 3.

Tính giá trị của biểu thức .

2 2 2

2 2 a b c ab bc ca P a c 2ab 2bc         

Bài 2. (3 điểm)

Giải phương trình: 2 (2x 1) x 3 x 3   

Bài 3. (3 điểm)

Giải hệ phương trình: x(y 1) y(x 1) 6 (x 1)(y 1) 1

      

Bài 4. (4 điểm)

1. Cho 2 số thực dương x, y thỏa điều kiện . Tìm giá trị lớn 2y x 1 1 x 1 y    

nhất của biểu thức P = xy2 2. Tìm x, y nguyên thỏa mãn phương trình: (x + y)(x + 2y) = x + 5

Bài 5. (5 điểm)

1. Cho tam giác nhọn ABC có H là trực tâm.Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AH

Đường phân giác trong góc A cắt MN tại K. Chứng minh rằng AK vuông góc với HK. 2. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi AH, AD lần lượt là đường cao, đường

phân giác trong của tam giác ABC (H, D BC). Tia AD cắt (O) tại E, tia EH cắt (O) tại 

F và tia FD cắt (O) tại K. Chứng minh rằng AK là đường kính của (O).

Bài 6. (2 điểm)

Trong tuần, mỗi ngày Nam chỉ chơi một môn thể thao. Nam chạy ba ngày một tuần nhưng

không bao giờ chạy trong hai ngày liên tiếp. Vào thứ Hai, anh ta chơi bóng bàn và hai ngày

sau đó anh ta chơi bóng đá. Nam còn đi bơi và chơi cầu lông, nhưng không bao giờ Nam

chơi cầu lông sau ngày anh ta chạy hoặc bơi.Hỏi ngày nào trong tuần Nam đi bơi?

HẾT

ThuVienDeThi.com

GỢI Ý

Bài 1. • Từ a − b = 7, b − c = 3  a − c = 10, ta có:

•

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2(a b c ab bc ca) (a b) (b c) (c a) 79 P ... 40 2(a c 2ab 2bc) 2[(a b) (b c) ]                     Bài 2. • Điều kiên: x  –3 • 2 2 2 (2x 1) x 3 x 3(1) 2x x 3 x 3 x 3 x 3 2x x 3 x 3 0          

2 2 (x 2x x 3 x 3) (x x 3) 0 (x x 3) (x x 3) 0 (x x 3)(x x 3 1) 0                  

• Tập nghiệm của (1) là x x 3 0 x 3 x ... x x 3 1 0 x 3 x 1               

1 13 3 17 S ; 2 2        

Bài 3. nên 3x và     3xy 8 3x( 3y) 24 x(y 1) y(x 1) 6 xy x xy y 6 (x 1)(y 1) 1 xy x y 2 3xy 3x 3y 6 3x ( 3y) 2                     

– 3y là nghiệm của phương trình X2 + 2X – 24 = 0  …  

4 x 3x 4 3 y 2 3y 6 X 4

x 2 X 6 3x 6

4 3y 4 y 3

                                

Bài 4. 1. • Với x, y > 0, ta có: . 2y x 1 x xy 2y 2xy 1 xy x y y 2xy 1 1 x 1 y           

• Áp dụng bđt Cauchy, ta có 2 2 2 1 1 y 2xy 2 y.2xy 2 2xy 1 8xy P xy 8       

• y 2xy 1 1 P ... x y y 2xy 1 8 2 x; y 0

          

 

2. • (x + y)(x + 2y) = x + 5 2 2 2 2 x 3xy 2y x 5 0 4x 12xy 8y 4x 20 0         

2 2 2 2 2 (2x) 2.2x(3y 1) (3y 1) y 6y 21 0 [2x (3y 1)] (y 3) 12               (2x 2y 2)(2x 4y 4) 12 (x y 1)(x 2y 2) 3            • Với x, y nguyên ta có bảng sau: x + 2y – 2 1 3 –1 –3 x + y + 1 3 1 –3 –1 y – 3 –2 2 2 –2 y 1 5 5 1 x 1 –5 –9 –3

Bài 5. 1.Chứng minh rằng AK vuông góc với HK.

• Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn đường kính BC có tâm là M. • Chứng minh tứ giác AFHE nội tiếp đường tròn đường kính AH có tâm là N. Cho đường tròn (N) cắt NM tại K’  A 0 AK'H 90   AK’  HK. • NM là đường trung trực của dây chung FE mà K' NM   K’F = K’E  mà và A A K'FE K'EF  A A K'FE K'AE  (do tứ giác AFK’E nội tiếp) A A K'EF K'AF  A A K'AE K'AF 

 AK’ là phân giác trong góc A mà AK là phân giác trong góc

M

N

A

B C

H

D

E

F K'K

ThuVienDeThi.com